放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．

(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．

\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．

放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$を$C$とし，直線$y=2x-1$を$\ell$とする．

(1)放物線$C$が点$(1,\ 1)$で直線$\ell$と接し，かつ$x$軸と共有点をもつための$a,\ b,\ c$が満たす必要十分条件を求めよ．
(2)$\displaystyle a=\frac{8}{9}$のとき，$(1)$の条件のもとで，放物線$C$と直線$\ell$および$x$軸とで囲まれた部分のうち，第$1$象限にある部分の面積を求めよ．

次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．

\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．

放物線$y=x^2+ax+b$により，$xy$平面を$2$つの領域に分割する．以下の問いに答えよ．

(1)点$(-1,\ 4)$と点$(2,\ 8)$が放物線上にはなく別々の領域に属するような$a,\ b$の条件を求めよ．さらに，その条件を満たす$(a,\ b)$の領域を$ab$平面に図示せよ．
(2)$a,\ b$が$(1)$で求めた条件を満たすとき，$a^2+b^2$がとり得る値の範囲を求めよ．

$1$辺の長さが$4$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$をそれぞれ辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上の点とし，$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ b$（ただし，$0<a<4$，$0<b<4$）とする．

(1)$\cos \angle \mathrm{QPR}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$b=2$とし，点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{QPR}$の大きさを最大にする点とする．このとき，$a$の値を求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積を求めよ．

$t$を$0<t<1$をみたす実数とする．$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$y=x^2$の点$\mathrm{R}$における接線であることを示せ．
(3)$t$が条件$0<t<1$をみたしながら変化するとき，直線$\ell$が通過する領域を図示せよ．

微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．

次の関数$f(x),\ g(x)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数を表す．
\[ f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}},\quad g(x)=\log (x+\sqrt{x^2+1}) \]

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x),\ \lim_{x \to -\infty} f(x)$をそれぞれ求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$を求め，関数$f(x)$の増減を調べよ．さらに，$f(x)$の最大値を求めよ．
(3)次の方程式がただ$1$つの実数解を持つような定数$m$の条件を求めよ．
\[ m \sqrt{x^2+1}=x+1 \]
(4)導関数$g^\prime(x)$を求めよ．さらに，$xy$平面上において，曲線$y=f(x)$，$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$D$とする．図形$D$の面積$S$を求めよ．
(5)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

図$1$が示すように，平面上に互いに異なる$5$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がある．ただし，$\mathrm{O}$は原点であり，他の$4$点の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．媒介変数$t (0 \leqq t \leqq 1)$を用いて，線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$とする．同様に，線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$を$t:1-t$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$とする．さらに，線分$\mathrm{HI}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{J}$とし，$t$が$0$から$1$まで変化するときの点$\mathrm{J}$の軌跡を曲線$K$とする（図$1$参照）．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を表せ．
(2)$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$および$t$を用いて位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OJ}}$を表せ．
(3)特殊な条件として，一辺が$r$の正方形上に図$2$に示すように点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を配置する．さらに，中心が$\mathrm{O}$で端点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$とする円弧を$L$とする．線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{CD}$の長さはともに半径$r$の$s$倍（$0 \leqq s \leqq 1$）である．このとき，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{d}$および$s$を用いてベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を表せ．
(4)$(3)$において，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの点$\mathrm{J}$に対応する点を特に点$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{M}$が円弧$L$上にあるための条件を$s$の値で示せ．