$a,\ b,\ c$を$1$以上$7$以下の自然数とする．次の条件$(*)$を考える．

\mon[$(*)$] $3$辺の長さが$a,\ b,\ c$である三角形と，$3$辺の長さが$\displaystyle \frac{1}{a},\ \frac{1}{b},\ \frac{1}{c}$である三角形が両方とも存在する．

以下の問に答えよ．

(1)$a=b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(2)$a>b>c$であり，かつ条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．
(3)条件$(*)$をみたす$a,\ b,\ c$の組の個数を求めよ．

$2$つの関数
\[ f(x)=\frac{2}{2x+3},\quad g(x)=\frac{2x+1}{-x+2} \]
がある．

(1)関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求めよ．
(2)合成関数$g^{-1}(f(g(x)))$を求めよ．
(3)実数$c$が無理数であるとき，$f(c)$は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=g(\sqrt{2}),\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)$(4)$で定められた数列$\{a_n\}$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．

座標平面上の$2$つの放物線
\[ \begin{array}{rcl}
C_1 & : & y=x^2 \\
C_2 & : & y=-x^2+ax+b \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \]
を考える．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)$C_1$と$C_2$が異なる$2$点で交わるための$a,\ b$に関する条件を求めよ．
以下，$a,\ b$が$(1)$の条件を満たすとし，$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積が$9$であるとする．
(2)$b$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$がすべての実数値をとって変化するとき，放物線$C_2$の頂点が描く軌跡を座標平面上に図示せよ．

$n$を$2$以上の整数とする．正方形の形に並んだ$n \times n$のマスに$0$または$1$のいずれかの数字を入れる．マスは上から第$1$行，第$2$行，$\cdots$，左から第$1$列，第$2$列，$\cdots$，と数える．数字の入れ方についての次の条件$p$を考える．

条件$p$：$1$から$n-1$までのどの整数$i,\ j$についても，第$i$行，第$i+1$行と第$j$列，第$j+1$列とが作る$2 \times 2$の$4$個のマスには$0$と$1$が$2$つずつ入る．
（図は省略）
(1)条件$p$を満たすとき，第$n$行と第$n$列の少なくとも一方には$0$と$1$が交互に現れることを示せ．
(2)条件$p$を満たすような数字の入れ方の総数$a_n$を求めよ．

$C_1$，$C_2$をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする．

$C_1:y=-x^2+2x,\quad 0 \leqq x \leqq 2$
$C_2:y=-x^2-2x,\quad -2 \leqq x \leqq 0$

また，$a$を実数とし，直線$y=a(x+4)$を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$と$C_1$が異なる$2$つの共有点をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
以下，$a$が$(1)$の条件を満たすとする．このとき，$\ell$と$C_1$で囲まれた領域の面積を$S_1$，$x$軸と$C_2$で囲まれた領域で$\ell$の下側にある部分の面積を$S_2$とする．
(2)$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1=S_2$を満たす実数$a$が$\displaystyle 0<a<\frac{1}{5}$の範囲に存在することを示せ．

座標平面上で，$x$座標と$y$座標がともに$0$以上の整数である点を，ここでは格子点とよぶ．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へ，両端点がともに格子点であり長さが$1$の線分を用いて，格子点$(0,\ 0)$から順に最も少ない本数でつなぐ方法を数える．例えば，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(3,\ 1)$へつなぐ方法の数は$4$である．次の問いに答えよ．

(1)格子点$(0,\ 0)$から格子点$(4,\ 0)$へつなぐ方法の数と，格子点$(0,\ 0)$から格子点$(2,\ 2)$へつなぐ方法の数を，それぞれ求めよ．
(2)条件$k+\ell=5$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を求めよ．
(3)条件$k+\ell=n (n \geqq 1)$を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．
(4)条件$k+\ell=n$（$k$と$\ell$はともに偶数で，$n \geqq 2$）を満たす格子点$(k,\ \ell)$を考える．格子点$(0,\ 0)$から格子点$(k,\ \ell)$へつなぐ方法の数を，この条件を満たすすべての格子点について足し合わせた数を$n$を用いて表せ．

$k \geqq 2$と$n$を自然数とする．$n$が$k$個の連続する自然数の和であるとき，すなわち，
\[ n=m+(m+1)+\cdots +(m+k-1) \]
が成り立つような自然数$m$が存在するとき，$n$を$k$-連続和とよぶことにする．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．

(1)$n$が$k$-連続和であることは，次の条件$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$の両方が成り立つことと同値であることを示せ．

$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \frac{n}{k}-\frac{k}{2}+\frac{1}{2}$は整数である．
$(\mathrm{B})$ $2n>k^2$が成り立つ．

(2)$f$を自然数とする．$n=2^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$は存在しないことを示せ．
(3)$f$を自然数とし，$p$を$2$でない素数とする．$n=p^f$のとき，$n$が$k$-連続和となるような自然数$k \geqq 2$の個数を求めよ．

数列$\{a_n\}$を次の条件$(ⅰ)$および$(ⅱ)$をみたすように定める．

(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．

次の問いに答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$50$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$50$項までの和を求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$がある．

$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\quad 3a_{n+1}=a_n-2a_{n+1}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n+\frac{n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$である．

(1)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AB}=c$とし，条件
\[ a+b+c=1,\quad 9ab=1 \]
が成り立つとする．以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$\theta=\angle \mathrm{C}$とするとき，$\cos \theta$の値の範囲を求めよ．