「条件付き確率」について
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国立 熊本大学 2016年 第2問$1$つのさいころを$3$回投げる．$1$回目に出る目の数，$2$回目に出る目の数，$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1,\ X_2,\ X_3$とし，$5$つの数
\[ 2,\quad 5,\quad 2-X_1,\quad 5+X_2,\quad X_3 \]
からなるデータを考える．以下の問いに答えよ．
(1)データの範囲が$7$以下である確率を求めよ．
(2)$X_3$がデータの中央値に等しい確率を求めよ．
(3)$X_3$がデータの平均値に等しい確率を求めよ．
(4)データの中央値と平均値が一致するとき，$X_3$が中央値に等しい条件付き確率を求めよ．
\[ 2,\quad 5,\quad 2-X_1,\quad 5+X_2,\quad X_3 \]
からなるデータを考える．以下の問いに答えよ．
(1)データの範囲が$7$以下である確率を求めよ．
(2)$X_3$がデータの中央値に等しい確率を求めよ．
(3)$X_3$がデータの平均値に等しい確率を求めよ．
(4)データの中央値と平均値が一致するとき，$X_3$が中央値に等しい条件付き確率を求めよ．
国立 東京大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．
なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．
(1)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝したとき，$\mathrm{A}$の最後の対戦相手が$\mathrm{B}$である条件付き確率を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2016年 第4問赤球，白球合わせて$2$個以上入っている袋に対して，次の操作$(*)$を考える．
\mon[$(*)$] 袋から同時に$2$個の球を取り出す．取り出した$2$個の球が同じ色である場合は，その色の球を$1$個だけ袋に入れる．
赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋に対して一度操作$(*)$を行い，その結果得られた袋に対してもう一度操作$(*)$を行った後に，袋に入っている赤球と白球の個数をそれぞれ$r,\ w$とする．
(1)赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋から$2$個の球を取り出すとき，取り出した赤球の個数が$k$である確率を$p_k$とする．$p_0,\ p_1,\ p_2$の値を求めよ．
(2)$r=w$となる確率を求めよ．
(3)$r>w$となる確率を求めよ．
(4)$r>w$であったときの$r+w=2$となる条件付き確率を求めよ．
\mon[$(*)$] 袋から同時に$2$個の球を取り出す．取り出した$2$個の球が同じ色である場合は，その色の球を$1$個だけ袋に入れる．
赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋に対して一度操作$(*)$を行い，その結果得られた袋に対してもう一度操作$(*)$を行った後に，袋に入っている赤球と白球の個数をそれぞれ$r,\ w$とする．
(1)赤球$3$個と白球$2$個が入っている袋から$2$個の球を取り出すとき，取り出した赤球の個数が$k$である確率を$p_k$とする．$p_0,\ p_1,\ p_2$の値を求めよ．
(2)$r=w$となる確率を求めよ．
(3)$r>w$となる確率を求めよ．
(4)$r>w$であったときの$r+w=2$となる条件付き確率を求めよ．
私立 名城大学 2016年 第1問次の$[ア]$～$[エ]$に数を入れよ．
(1)$2$つのさいころを投げ，出た目が両方とも奇数である事象を$A$，出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする．このとき，$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり，$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である．
(2)$p$を定数とする．$x$の$1$次式$f(x)$が，
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき，$p=[ウ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である．
(1)$2$つのさいころを投げ，出た目が両方とも奇数である事象を$A$，出た目の和が$4$の倍数である事象を$B$とする．このとき，$A$または$B$が起こる確率は$[ア]$であり，$B$が起きたときの$A$が起こる条件付き確率は$[イ]$である．
(2)$p$を定数とする．$x$の$1$次式$f(x)$が，
\[ xf(x+1)=p \int_1^x (x+t)f^\prime(t) \, dt+1 \]
を満たしているとき，$p=[ウ]$である．また，$\displaystyle \int_0^2 |f(x)| \, dx$の値は$[エ]$である．
私立 京都薬科大学 2016年 第1問次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．ただし，$[コ]$においては，$[コ]$につづくかっこ内の選択肢から適切なものを$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$の記号で答えよ．
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
(1)$2$つの円$x^2+y^2=1$，$(x-2)^2+y^2=R^2 (R>0)$が異なる$2$つの交点を持つのは$[ア]<R<[イ]$が成立するときである．このとき，$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$とおき，交点の$1$つを$\mathrm{P}$とすると
\[ \cos \angle \mathrm{OPA}=[ウ] \]
が成立するので，$\angle \mathrm{OPA}={90}^\circ$となるのは$R=[エ]$のときである．
(2)$x$の$2$次方程式$x^2-4x \sin \theta+4+\sqrt{2}-(2+2 \sqrt{2}) \cos \theta=0 (0 \leqq \theta<2\pi)$が異なる$2$つの実数解を持つような$\theta$の範囲は，$[オ]<\theta<[カ]$および$[キ]<\theta<[ク]$である．
(3)$p$と$q$を正の整数とするとき，$x$の$2$次方程式$x^2-2 \sqrt{p}x+q=0$は異なる$2$つの実数解を持つとする．これらの解を$\alpha$と$\beta$で表すとき，$r=|\alpha-\beta|$と$p,\ q$の間には，関係式$r^2=[ケ]$が成り立つ．したがって，もし$r$が整数ならば，$r$は$[コ]$（$\mathrm{A}:$偶数，$\mathrm{B}:$奇数）である．このとき，$2$次方程式の解を$q$と$r$を用いてあらわすと$x=[サ] \pm [シ]$となる．
(4)$1$つのサイコロを$2$回続けて投げるとき，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とし，$x$の$2$次方程式$x^2-ax+b=0 \ \cdots\ ①$を考える．$2$次方程式$①$が実数解を持たない確率は$[ス]$である．$2$次方程式$①$が実数解を持つとき，それが重解である条件付き確率は$[セ]$である．$2$次方程式$①$の解が$2$つとも自然数になる確率は$[ソ]$である．
(5)$3^{10}={10}^x$となる$x$は$[タ]$である．よって，$3^{10}$は$[チ]$桁の$10$進数である．同様の考え方で$5^{10}$を$9$進数で表すと，$[ツ]$桁である．ただし，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}5=0.6990$とする．
私立 福岡大学 2016年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$4$次方程式$x^4-x^3+ax^2+bx+2=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，係数$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ ]$である．また，この方程式の他の解を求めると，$[ ]$である．
(2)袋の中に$1$から$13$までの数が$1$つずつ書かれた$13$個の玉が入っている．この袋の中から，$2$個の玉を同時にとり出す．このとき，とり出した玉に書かれた$2$つの数の和が偶数になる確率は$[ ]$である．また，とり出した玉に書かれた数がどちらも$10$以下であったとき，数の和が偶数である条件付き確率は$[ ]$である．
(3)$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{C}(4,\ -5,\ 1)$がある．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めると$\cos \theta=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(1)$4$次方程式$x^4-x^3+ax^2+bx+2=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，係数$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ ]$である．また，この方程式の他の解を求めると，$[ ]$である．
(2)袋の中に$1$から$13$までの数が$1$つずつ書かれた$13$個の玉が入っている．この袋の中から，$2$個の玉を同時にとり出す．このとき，とり出した玉に書かれた$2$つの数の和が偶数になる確率は$[ ]$である．また，とり出した玉に書かれた数がどちらも$10$以下であったとき，数の和が偶数である条件付き確率は$[ ]$である．
(3)$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{C}(4,\ -5,\ 1)$がある．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めると$\cos \theta=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
国立 北海道大学 2015年 第4問初めに赤玉$2$個と白玉$2$個が入った袋がある．その袋に対して以下の試行を繰り返す．
(i) まず同時に$2$個の玉を取り出す．
(ii) その$2$個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉$2$個を袋に入れる．
(iii) 最後に白玉$1$個を袋に追加してかき混ぜ，$1$回の試行を終える．
$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を$X_n$とする．
(1)$X_1=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_2=3$となる確率を求めよ．
(3)$X_2=3$であったとき，$X_1=3$である条件付き確率を求めよ．
(i) まず同時に$2$個の玉を取り出す．
(ii) その$2$個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉$2$個を袋に入れる．
(iii) 最後に白玉$1$個を袋に追加してかき混ぜ，$1$回の試行を終える．
$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を$X_n$とする．
(1)$X_1=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_2=3$となる確率を求めよ．
(3)$X_2=3$であったとき，$X_1=3$である条件付き確率を求めよ．
公立 札幌医科大学 2015年 第2問$p$を$0 \leqq p \leqq 1$をみたす実数とする．$1$個の白玉と$3$個の赤玉が入っている袋があり，この袋から$1$個の玉を取り出して，取り出した玉に新たに白か赤の玉を$1$個加えて袋に戻す試行を行う．ただし，この試行の際に加えられる新たな玉の色は
\begin{itemize}
確率$p$で取り出した玉と同じ色
確率$1-p$で取り出した玉と異なる色
\end{itemize}
とする．
例えば，$p=1$の場合，第$1$回目の試行において赤玉が取り出されると，取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す．そして第$1$回目の試行が終わったときには，袋の中に$1$個の白玉と$4$個の赤玉が入っている．
第$n$回目の試行で白玉が取り出される確率を$q_n$とする．
(1)第$n$回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり，かつこの白玉が$n+1$回目の試行で取り出される確率を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ．
(2)$q_{n+1}$を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ．ただし$n+1$回目の試行において，$n$回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で，$n+1$回目に白玉を取り出す条件つき確率が$q_n$と等しいことを用いてよい．
(3)$\displaystyle r_n=q_n-\frac{1}{2}$とおくとき，$r_{n+1}$を$n,\ p,\ r_n$を用いて表せ．
(4)$p=0$，$\displaystyle p=\frac{1}{2}$，$p=1$のときの$q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
\begin{itemize}
確率$p$で取り出した玉と同じ色
確率$1-p$で取り出した玉と異なる色
\end{itemize}
とする．
例えば，$p=1$の場合，第$1$回目の試行において赤玉が取り出されると，取り出した赤玉に加えてもう一つ赤玉を袋に戻す．そして第$1$回目の試行が終わったときには，袋の中に$1$個の白玉と$4$個の赤玉が入っている．
第$n$回目の試行で白玉が取り出される確率を$q_n$とする．
(1)第$n$回目の試行で新たに加えられた玉が白玉であり，かつこの白玉が$n+1$回目の試行で取り出される確率を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ．
(2)$q_{n+1}$を$n,\ p,\ q_n$を用いて表せ．ただし$n+1$回目の試行において，$n$回目に入れた玉を取り出さないという条件の下で，$n+1$回目に白玉を取り出す条件つき確率が$q_n$と等しいことを用いてよい．
(3)$\displaystyle r_n=q_n-\frac{1}{2}$とおくとき，$r_{n+1}$を$n,\ p,\ r_n$を用いて表せ．
(4)$p=0$，$\displaystyle p=\frac{1}{2}$，$p=1$のときの$q_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
国立 浜松医科大学 2013年 第3問さいころを$4$回投げて，$k$回目（$k=1,\ 2,\ 3,\ 4$）に出る目の数を$X_k$とする．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$j,\ k \ (j<k)$は数の集合$\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$を動くものとする．$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の中で，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$が少なくとも$1$つ存在する事象を$A$，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$がただ$1$つ存在する事象を$B$，同じ目がちょうど$3$つ出る事象を$C$とする．確率$P(A)$，$P(B)$，$P(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$A$が起こったときの和事象$B \cup C$の条件つき確率$P_A(B \cup C)$を求めよ．
(3)$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の値を小さい順に並べ替えて，$X_{(1)} \leqq X_{(2)} \leqq X_{(3)} \leqq X_{(4)}$を定める．例えば，$X_1=3,\ X_2=2,\ X_3=6,\ X_4=2$の場合，$X_{(1)}=2,\ X_{(2)}=2,\ X_{(3)}=3,\ X_{(4)}=6$である．確率$P(X_{(1)}=4)$と$P(X_{(1)}=X_{(2)}=4)$をそれぞれ求めよ．
(1)$j,\ k \ (j<k)$は数の集合$\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$を動くものとする．$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の中で，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$が少なくとも$1$つ存在する事象を$A$，$X_j=X_k$となる組$\{j,\ k\}$がただ$1$つ存在する事象を$B$，同じ目がちょうど$3$つ出る事象を$C$とする．確率$P(A)$，$P(B)$，$P(C)$をそれぞれ求めよ．
(2)$A$が起こったときの和事象$B \cup C$の条件つき確率$P_A(B \cup C)$を求めよ．
(3)$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$の値を小さい順に並べ替えて，$X_{(1)} \leqq X_{(2)} \leqq X_{(3)} \leqq X_{(4)}$を定める．例えば，$X_1=3,\ X_2=2,\ X_3=6,\ X_4=2$の場合，$X_{(1)}=2,\ X_{(2)}=2,\ X_{(3)}=3,\ X_{(4)}=6$である．確率$P(X_{(1)}=4)$と$P(X_{(1)}=X_{(2)}=4)$をそれぞれ求めよ．
国立 浜松医科大学 2012年 第4問$1$個のさいころを$3$回投げる．$1$回目，$2$回目，$3$回目に出る目の数をそれぞれ$X_1,\ X_2,\ X_3$として，$3$つの確率変数
\[ Y=4X_1+X_2,\quad Z_1=2X_1+3X_2,\quad Z_2=2X_1+3X_3 \]
を定める．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)数の集合$U=\{x \;|\; x \text{は整数かつ}5 \leqq x \leqq 30 \}$を全体集合として，
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle S=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Y=x)>\frac{1}{36} \right\} \\ \\
\displaystyle T=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Z_1=x)>\frac{1}{36} \right\}
\end{array} \]
を定める．部分集合$S$と$T$の要素をそれぞれ列挙せよ．
(2)$Y$の値が$S$に属するという事象を$A$とし，$i=1,\ 2$に対して$Z_i$の値が$T$に属するという事象を$B_i$とする．次の問いに答えよ．
(i) $i=1,\ 2$に対し，等式$P(A \cap B_i)=P(A)P(B_i)$が成り立つかどうか，それぞれ調べよ．
(ii) 条件つき確率$P_A(B_1 \cap B_2)$の定義式をかき，その値を求めよ．
\[ Y=4X_1+X_2,\quad Z_1=2X_1+3X_2,\quad Z_2=2X_1+3X_3 \]
を定める．$1$から$6$までの目は等確率で出るものとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)数の集合$U=\{x \;|\; x \text{は整数かつ}5 \leqq x \leqq 30 \}$を全体集合として，
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle S=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Y=x)>\frac{1}{36} \right\} \\ \\
\displaystyle T=\left\{ x \;\bigg|\; x \in U \text{かつ} P(Z_1=x)>\frac{1}{36} \right\}
\end{array} \]
を定める．部分集合$S$と$T$の要素をそれぞれ列挙せよ．
(2)$Y$の値が$S$に属するという事象を$A$とし，$i=1,\ 2$に対して$Z_i$の値が$T$に属するという事象を$B_i$とする．次の問いに答えよ．
(i) $i=1,\ 2$に対し，等式$P(A \cap B_i)=P(A)P(B_i)$が成り立つかどうか，それぞれ調べよ．
(ii) 条件つき確率$P_A(B_1 \cap B_2)$の定義式をかき，その値を求めよ．