タグ「有理数」の検索結果

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三重大学 国立 三重大学 2016年 第3問
以下の$a,\ b,\ c$はいずれも正の実数とする.

(1)「$ab$が有理数ならば,${(a+b)}^2$は有理数である」という主張が正しければ証明し,誤りならば反例を与えよ.
(2)$ab,\ ac,\ bc$が有理数ならば,$a^2$は有理数であることを示し,さらに${(a+b+c)}^2$は有理数であることを示せ.
(3)$ab,\ ac,\ bc$が有理数で,さらに${(a+b+c)}^3$が有理数となるならば,$a,\ b,\ c$はそれぞれ有理数であることを示せ.
富山大学 国立 富山大学 2016年 第3問
$n$を$1$以上の整数とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\sqrt{n}$が有理数ならば,$\sqrt{n}$は整数であることを示せ.
(2)$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$が共に有理数であるような$n$は存在しないことを示せ.
(3)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無理数であることを示せ.
富山大学 国立 富山大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする.このとき,$A,\ B$の値を求めよ.
(2)$2$次方程式$x^2+Cx+D=0$の$2$つの解$\gamma,\ \delta$は
\[ \gamma \neq 0,\quad \delta \neq 0,\quad |\gamma-\delta|=2,\quad |\displaystyle\frac{1|{\gamma}-\frac{1}{\delta}}=2 \]
を満たすとする.このとき,$C,\ D$の値を求めよ.ただし,$C,\ D$は有理数である.
滋賀医科大学 国立 滋賀医科大学 2016年 第2問
分母が奇数,分子が整数の分数で表せる有理数を「控えめな有理数」と呼ぶことにする.例えば$\displaystyle -\frac{1}{3}$,$2$はそれぞれ$\displaystyle \frac{-1}{3},\ \frac{2}{1}$と表せるから,ともに控えめな有理数である.$1$個以上の有限個の控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$に対して,集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$を,
\[ S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=\{x_1a_1+\cdots+x_na_n \;|\; x_1,\ \cdots,\ x_n \ \text{は控えめな有理数} \} \]
と定める.例えば$1$は$\displaystyle 1 \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) +\frac{2}{3} \cdot 2$と表せるから,$\displaystyle S \langle -\frac{1}{3},\ 2 \rangle$の要素である.

(1)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が定める集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$の要素は控えめな有理数であることを示せ.
(2)$0$でない控えめな有理数$a$が与えられたとき,$S \langle a \rangle=S \langle 2^t \rangle$となる$0$以上の整数$t$が存在することを示せ.
(3)控えめな有理数$a_1,\ \cdots,\ a_n$が与えられたとき,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b \rangle$となる控えめな有理数$b$が存在することを示せ.
(4)$2016$が属する集合$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$はいくつあるか.ただし$a_1,\ \cdots,\ a_n$は控えめな有理数であるとし,$a_1,\ \cdots,\ a_n$と$b_1,\ \cdots,\ b_m$が異なっていても,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle=S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$であれば,$S \langle a_1,\ \cdots,\ a_n \rangle$と$S \langle b_1,\ \cdots,\ b_m \rangle$は一つの集合として数える.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2016年 第1問
$[ア]$~$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ.

(1)$2^{100}$を$2016$で割った余りは$[ア]$である.
(2)$a,\ b$を正の整数とする.方程式
\[ 2x^3-ax^2+bx+3=0 \]
が,$1$以上の有理数の解を持つような$a$の最小値は$[イ]$である.
(3)正$2016$角形$P$がある.頂点がすべて$P$の頂点であるような正多角形は全部で$[ウ]$個ある.ただし,頂点の異なる正多角形は異なるものとする.

(4)$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{2016} k \sin \frac{(2k-1) \pi}{2016} \right) \sin \frac{\pi}{2016}=[エ]$
津田塾大学 私立 津田塾大学 2016年 第2問
$p,\ q,\ r$を有理数とし,$f(x)=x^3+3px^2+qx+r$とする.曲線$y=f(x)$は点$(t,\ 0)$で$x$軸に接している.

(1)$f(x)=f^\prime(x)(Ax+B)+Cx+D$をみたす定数$A,\ B,\ C,\ D$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ.
(2)$t$は有理数であることを示せ.
聖マリアンナ医科大学 私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第4問
$p$を素数とするとき,以下の命題を証明しなさい.

(1)$a,\ b,\ c$を整数とするとき,$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば,$a$は$p$の倍数である.
(2)$a,\ b,\ c$を整数とするとき,$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば,$a,\ b,\ c$はどれも$p$の倍数である.
(3)$a,\ b,\ c$を整数とするとき,$a^3+pb^3+p^2c^3-p^3abc=0$ならば,$a=b=c=0$である.
(4)$x,\ y,\ z$を有理数とするとき,$x^3+py^3+p^2z^3-p^3xyz=0$ならば,$x=y=z=0$である.
沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2016年 第2問
以下の各問いに答えなさい.

(1)以下のうちで有理数となるものをすべて選びなさい.
\[ 1,\quad 0.333 \cdots,\quad 4 \pi,\quad \sqrt{2},\quad \sqrt{9} \]
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい.

(i) $20x^2+23x+6$
(ii) $x^4+x^2+1$

(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の連立不等式の解を答えなさい.


(i) $\left\{ \begin{array}{l}
5x-10>3x-4 \\
7x-3 \leqq 4x+12
\end{array} \right.$

(ii) $\left\{ \begin{array}{l}
4 \leqq 3x-10 \\
7x \leqq 5(4x+1)
\end{array} \right.$


(4)以下の条件の否定を答えなさい.

「 $a>1$ \quad または \quad $b \leqq 2$ 」
沖縄国際大学 私立 沖縄国際大学 2016年 第2問
以下の各問いに答えなさい.

(1)「実数」は,「実数」と「実数」に$3$つの演算(加法・減法・乗法)を行った場合,再び「実数」になる.同じように,同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が,再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい.

有理数,自然数,整数

(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい.

(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$

(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい.

(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$

(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい.

「$n+1$が偶数ならば,$n$は奇数」
天使大学 私立 天使大学 2016年 第2問
次の問いに答えなさい.

(1)分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく.さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく.次の問いに答えなさい.

(i) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい.

$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$

(ii) $U$の要素の中で,既約分数の個数を$N_3$とする.$N_3$を求めなさい.

$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$


(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$,$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする.直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり,$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく.次の問いに答えなさい.

(i) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき,$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である.
(ii) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき,$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である.
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