「最小」について
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公立 富山県立大学 2016年 第2問$\displaystyle z=\cos \frac{2\pi}{5}+i \sin \frac{2\pi}{5}$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$i$は虚数単位である．
(1)$z^n=1$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
(2)$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．
(3)$(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}+\cos \frac{4\pi}{5}$の値を求めよ．
(1)$z^n=1$となる最小の正の整数$n$を求めよ．
(2)$z^4+z^3+z^2+z+1$の値を求めよ．
(3)$(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}+\cos \frac{4\pi}{5}$の値を求めよ．
公立 九州歯科大学 2016年 第2問関数$F(x)=3x^5-15x^4-35x^3+165x^2+360x+240$の導関数を$f(x)$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle A=\frac{f(2)+f(3)+f(4)}{15}$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を因数分解せよ．
(3)$y=x^2-2x-3$とおく．$f(x)$を$y$を用いて表せ．
(4)不等式$f(x)<750$をみたす$x$の中で，最小の整数を$m$とする．$m$の値を求めよ．また，閉区間$[m,\ m+5]$における$F(x)$の最小値$B$を求めよ．
(1)$\displaystyle A=\frac{f(2)+f(3)+f(4)}{15}$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を因数分解せよ．
(3)$y=x^2-2x-3$とおく．$f(x)$を$y$を用いて表せ．
(4)不等式$f(x)<750$をみたす$x$の中で，最小の整数を$m$とする．$m$の値を求めよ．また，閉区間$[m,\ m+5]$における$F(x)$の最小値$B$を求めよ．
公立 北九州市立大学 2016年 第2問座標平面上の原点$\mathrm{O}$と$2$次関数$f(x)=-x^2+ax$を考える．ただし，$a$は正の定数である．以下の問題に答えよ．
(1)$y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．
(1)$y_1=-x^2+x$，$y_2=-x^2+2x$とする．$\displaystyle \frac{y_2}{y_1}>0$となる$x$の値の範囲を求めよ．また，次の式を満たす$x$の値を求めよ．
\[ \log_2 \left( \frac{y_2}{y_1} \right)=2 \]
(2)積分$\displaystyle \int_0^1 |f(x)| \, dx$の値を$a$を用いて表せ．また，この値が最小となるときの$a$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{5}{4}$とする．関数$y=f(x)$のグラフで$x \geqq 0$を満たす部分を曲線$C$とする．曲線$C$上の$2$点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$，$\mathrm{Q}(p+1,\ f(p+1))$とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸へ下ろした各々の垂線を$\mathrm{PP}^\prime$，$\mathrm{QQ}^\prime$とする．ただし，$p$は$\displaystyle 0<p<\frac{1}{4}$または$\displaystyle \frac{1}{4}<p<1$を満たす．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}^\prime$を結ぶ図形が平行四辺形となるとき，$p$の値を求めよ．
公立 京都府立大学 2016年 第3問$s$を実数とする．$1<t<5$とする．$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( s,\ t,\ \frac{4}{t} \right)$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$は一直線上にないことを示せ．
(2)$\angle \mathrm{OPA}$は鋭角であることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積の最小値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積が最小となるとき，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の定める平面に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
(1)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$は一直線上にないことを示せ．
(2)$\angle \mathrm{OPA}$は鋭角であることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積の最小値を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OAP}$の面積が最小となるとき，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$の定める平面に垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
公立 京都府立大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 10)$，$\mathrm{B}(7,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くものとする．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$n$を$18$以下の自然数とする．くじが$18$本あり，そのうち$2$本が当たりくじである．この$18$本の中から$n$本を同時に引くとき，当たりくじを$1$本以上含む確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きくなる$n$の最小値を求めよ．
(3)$1$分間に$8 \, \%$の割合で個数が増えるバクテリアがある．このバクテリア$10$個が初めて$1000$個以上になるのは何分後か．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，答えは整数で求めよ．
(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 10)$，$\mathrm{B}(7,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くものとする．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．
(2)$n$を$18$以下の自然数とする．くじが$18$本あり，そのうち$2$本が当たりくじである．この$18$本の中から$n$本を同時に引くとき，当たりくじを$1$本以上含む確率が$\displaystyle \frac{1}{2}$より大きくなる$n$の最小値を求めよ．
(3)$1$分間に$8 \, \%$の割合で個数が増えるバクテリアがある．このバクテリア$10$個が初めて$1000$個以上になるのは何分後か．ただし$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とし，答えは整数で求めよ．
公立 高崎経済大学 2016年 第2問ある等差数列の第$n$項を$a_n$とするとき，
\[ a_{15}+a_{16}+a_{17}=-2622,\quad a_{99}+a_{103}=-1238 \]
が成立している．次の各問に答えよ．
(1)この等差数列の初項と公差を求めよ．
(2)この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
\[ a_{15}+a_{16}+a_{17}=-2622,\quad a_{99}+a_{103}=-1238 \]
が成立している．次の各問に答えよ．
(1)この等差数列の初項と公差を求めよ．
(2)この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$が最小となる$n$の値を求めよ．
公立 前橋工科大学 2016年 第1問$n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$に対して，$a_n=2^n$とする．自然数$N$に対して，$a_0,\ a_1,\ \cdots,\ a_N$から重複なしにいくつかを選んで和をとるという操作を考える．例えば，$N=1$のときには，この操作によって自然数$1,\ 2,\ 3$を作ることができる（$1=a_0,\ 2=a_1,\ 3=a_0+a_1$）．次の問いに答えなさい．
(1)$N=2$のとき，$7$以下のすべての自然数をこの操作によって作りなさい．
(2)この操作によって作ることのできる最大の自然数は$2^{N+1}-1$であることを示しなさい．
(3)自然数$N$に対して，$2^{N+1}-1$以下のすべての自然数をこの操作によって作ることができる．このことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(4)この操作によって$253$を作ることのできる最小の$N$の値を求めなさい．
(1)$N=2$のとき，$7$以下のすべての自然数をこの操作によって作りなさい．
(2)この操作によって作ることのできる最大の自然数は$2^{N+1}-1$であることを示しなさい．
(3)自然数$N$に対して，$2^{N+1}-1$以下のすべての自然数をこの操作によって作ることができる．このことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(4)この操作によって$253$を作ることのできる最小の$N$の値を求めなさい．
国立 東京大学 2015年 第5問$m$を$2015$以下の正の整数とする．$\comb{2015}{m}$が偶数となる最小の$m$を求めよ．
国立 東京大学 2015年 第3問$\ell$を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の$3$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$で定まる円$C_1$，$C_2$を考える．
(i) 円$C_1$，$C_2$は$2$つの不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$で定まる領域に含まれる．
(ii) 円$C_1$，$C_2$は直線$\ell$と同一点で接する．
(iii) 円$C_1$は$x$軸と点$(1,\ 0)$で接し，円$C_2$は$y$軸と接する．
円$C_1$の半径を$r_1$，円$C_2$の半径を$r_2$とする．$8r_1+9r_2$が最小となるような直線$\ell$の方程式と，その最小値を求めよ．
（図は省略）
(i) 円$C_1$，$C_2$は$2$つの不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$で定まる領域に含まれる．
(ii) 円$C_1$，$C_2$は直線$\ell$と同一点で接する．
(iii) 円$C_1$は$x$軸と点$(1,\ 0)$で接し，円$C_2$は$y$軸と接する．
円$C_1$の半径を$r_1$，円$C_2$の半径を$r_2$とする．$8r_1+9r_2$が最小となるような直線$\ell$の方程式と，その最小値を求めよ．
（図は省略）
国立 京都大学 2015年 第2問次の$2$つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ．
\mon[$(\mathrm{a})$] 少なくとも$2$つの内角は${90}^\circ$である．
\mon[$(\mathrm{b})$] 半径$1$の円が内接する．ただし，円が四角形に内接するとは，円が四角形の$4$つの辺すべてに接することをいう．
\mon[$(\mathrm{a})$] 少なくとも$2$つの内角は${90}^\circ$である．
\mon[$(\mathrm{b})$] 半径$1$の円が内接する．ただし，円が四角形に内接するとは，円が四角形の$4$つの辺すべてに接することをいう．