$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で$\displaystyle F(x)=\int_x^{x+1} |t^2-1| \, dt$の値が最小となるような$x$を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=2x+3$に対して，点$\mathrm{A}(1,\ 3)$と対称な点$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{6}{5} \right)$とするとき，直線$y=2x+3$上に点$\mathrm{P}$を取り，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの和を最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)直線$y=2x+3$に対して，点$\mathrm{A}(1,\ 3)$と対称な点$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\displaystyle \mathrm{B} \left( 2,\ \frac{6}{5} \right)$とするとき，直線$y=2x+3$上に点$\mathrm{P}$を取り，線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{PB}$の長さの和を最小にする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

原点をOとする座標平面上のベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{17},\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=\sqrt{10}$を満たし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角$\theta$が$\displaystyle \cos \theta =- \frac{13}{\sqrt{170}}$を満たしている．ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を$\displaystyle \overrightarrow{u} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2},\ \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{2}$で定める．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)長さ$|\overrightarrow{u}|,\ |\overrightarrow{v}|$と内積$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$を求めなさい．
(2)実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = t \overrightarrow{u}+(1-t)\overrightarrow{v}$とおく．長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を最小にする$t$の値を求めなさい．また，そのときの長さ$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$を求めなさい．

実数$a$が$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$を動くとき，
\[ S(a) = \int_a^{a+1} |(3x-4)(x-4)| \, dx \]
を最小にする$a$の値を求めなさい．

座標平面上にO$(0,\ 0)$，A$(20,\ 0)$，B$(20,\ 10)$，C$(0,\ 10)$を頂点とする長方形がある．点PはAを出発して，辺AB上を毎秒1の速さでBに向かって進み，点Qは，点Pと同時にBを出発して，辺BC上を毎秒2の速さでCに向かって進む．以下の問に答えよ．

(1)点PがBに達するまでに，$\triangle$OPQの面積が最小になるのは，出発してから何秒後か．また，その最小の面積を求めよ．
(2)点PがBに達するまでの$\triangle$OPQの重心の軌跡を求めよ．

$1$から$9$の数字がそれぞれ書かれた$9$枚のカードから，$\mathrm{A}$グループとして$3$枚，$\mathrm{B}$グループとして$4$枚のカードを選ぶ．次の問いに答えよ．

(1)このような選び方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$グループの数字がすべて$4$以下になる確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$グループの最大数が$\mathrm{B}$グループの最小数より小さい場合の得点を$\mathrm{A}$グループの数字の和とし，そうでない場合は得点を$0$とする．得点の期待値を求めよ．

定数$a$を正の実数とする．放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とする．$\mathrm{P}$における$C$の法線を$\ell$とし，$C$と$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とする．ただし，$t>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell$の$\mathrm{P}$以外の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a,\ t$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ t$を用いて表せ．
(3)$S$が最小となるときの$t$を$a$を用いて表せ．

$A$を成分が実数である2次の正方行列，$E$を2次の単位行列とする．数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n+2^n,\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle b_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおく．また，座標平面上の点P$_n(x_n,\ y_n)$を
\[ \biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\quad \biggl( \begin{array}{c}
x_{n+1} \\
y_{n+1}
\end{array} \biggr)=A^{b_n}\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
によって定める．以下の問いに答えよ．

(1)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$A$は$\sqrt{2}A^2=(1+\sqrt{3})A-\sqrt{2}E$を満たすとする．$A$の逆行列$A^{-1}$が存在することを示せ．
(3)(2)，かつ，$\displaystyle x_2=\sqrt{\frac{1}{2}},\ y_2=\sqrt{\frac{3}{2}}$のとき，$x_3,\ y_3$を求めよ．ただし，$A^{-1}$が存在することを証明なしに用いてよい．
(4)(3)のとき，$x_{n+1}=x_1,\ y_{n+1}=y_1$となる最小の自然数$n$を求めよ．

座標平面上の曲線$y=e^x-1$を$C$とする．曲線$C$と2直線$y=0,\ x=t$で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と2直線$y=2,\ x=t$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．ただし，$0<t<\log 3$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$S_1=S_2$となるときの$t$の値を求めよ．
(2)$S_1+S_2$が最小となるときの$t$の値を求めよ．