「最小公倍数」について
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私立 愛知学院大学 2016年 第1問次の問に答えなさい．
(1)$360$との最小公倍数が$1800$である自然数の個数は$[ア]$である．
(2)$62,\ 96,\ 232$のいずれを割っても余りが$11$となる最大の自然数は$[イ]$である．
(3)$20212_{(3)}$を$5$進法で表すと$[ウ]$である．
(1)$360$との最小公倍数が$1800$である自然数の個数は$[ア]$である．
(2)$62,\ 96,\ 232$のいずれを割っても余りが$11$となる最大の自然数は$[イ]$である．
(3)$20212_{(3)}$を$5$進法で表すと$[ウ]$である．
私立 東京電機大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．
(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)曲線$y=e^x$上の点$(t,\ e^t)$と直線$y=2x$の距離を$d(t)$とする．$d(t)$の最小値を求めよ．
(5)不定積分$\displaystyle \int \log 2x \, dx$を計算せよ．ただし積分定数は$C$とすること．
(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)曲線$y=e^x$上の点$(t,\ e^t)$と直線$y=2x$の距離を$d(t)$とする．$d(t)$の最小値を求めよ．
(5)不定積分$\displaystyle \int \log 2x \, dx$を計算せよ．ただし積分定数は$C$とすること．
私立 東京電機大学 2016年 第4問次の各問に答えよ．
(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(5)$3$次方程式$x^3+x^2-2x+1=0$の$3$つの解を$a_1,\ a_2,\ a_3$とするとき，${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2$の値を求めよ．
(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 2)$を考える．点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(5)$3$次方程式$x^3+x^2-2x+1=0$の$3$つの解を$a_1,\ a_2,\ a_3$とするとき，${a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2$の値を求めよ．
国立 東京工業大学 2015年 第5問$n$を相異なる素数$p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_k (k \geqq 1)$の積とする．$a,\ b$を$n$の約数とするとき，$a,\ b$の最大公約数を$G$，最小公倍数を$L$とし，
\[ f(a,\ b)=\frac{L}{G} \]
とする．
(1)$f(a,\ b)$が$n$の約数であることを示せ．
(2)$f(a,\ b)=b$ならば，$a=1$であることを示せ．
(3)$m$を自然数とするとき，$m$の約数であるような素数の個数を$S(m)$とする．$S(f(a,\ b))+S(a)+S(b)$が偶数であることを示せ．
\[ f(a,\ b)=\frac{L}{G} \]
とする．
(1)$f(a,\ b)$が$n$の約数であることを示せ．
(2)$f(a,\ b)=b$ならば，$a=1$であることを示せ．
(3)$m$を自然数とするとき，$m$の約数であるような素数の個数を$S(m)$とする．$S(f(a,\ b))+S(a)+S(b)$が偶数であることを示せ．
国立 東京海洋大学 2015年 第3問$20$枚のカードに$1$から$20$までの自然数が$1$つずつ書かれている．この中からカードを$3$枚同時に取り出すとき，次の問に答えよ．
(1)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(2)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の和が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の最小公倍数が$10$以下になる確率を求めよ．ただし，$2$つ以上の自然数に共通な正の倍数のうちで最小のものを最小公倍数という．
(1)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(2)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の和が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の最小公倍数が$10$以下になる確率を求めよ．ただし，$2$つ以上の自然数に共通な正の倍数のうちで最小のものを最小公倍数という．
私立 広島経済大学 2015年 第5問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$4$桁の自然数$54 \mkakko{} 4$が$9$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る数は$[$37$]$である．また，この$4$桁の自然数が$3$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る最大の数は$[$38$]$である．
(2)$180$の正の約数の個数は$[$39$]$個である．$180$と$80$の最大公約数を$A$，最小公倍数を$B$とすると$A=[$40$]$，$B=A \times [$41$]$である．
(3)$a,\ b$は自然数とする．$a$を$7$で割ると$1$余り，$a^2+b$を$7$で割ると$6$余る．このとき，$b$を$7$で割ると$[$42$]$余る．
(1)$4$桁の自然数$54 \mkakko{} 4$が$9$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る数は$[$37$]$である．また，この$4$桁の自然数が$3$の倍数であるとき，$\mkakko{}$に入る最大の数は$[$38$]$である．
(2)$180$の正の約数の個数は$[$39$]$個である．$180$と$80$の最大公約数を$A$，最小公倍数を$B$とすると$A=[$40$]$，$B=A \times [$41$]$である．
(3)$a,\ b$は自然数とする．$a$を$7$で割ると$1$余り，$a^2+b$を$7$で割ると$6$余る．このとき，$b$を$7$で割ると$[$42$]$余る．
国立 滋賀医科大学 2014年 第1問さいころを$n$回（$n \geqq 1$）投げて，出た目の最小公倍数を$l$とするとき，次の確率を求めよ．
(1)$2$と$3$の少なくとも一方が一度も出ない確率
(2)$l$が素数となる確率
(3)$l$が出た目の一つに等しい確率
(1)$2$と$3$の少なくとも一方が一度も出ない確率
(2)$l$が素数となる確率
(3)$l$が出た目の一つに等しい確率
私立 中京大学 2013年 第3問次の各問に答えよ．
(1)$504$の正の約数はいくつあるか求めよ．$1$と$504$自身も正の約数であることに注意せよ．
(2)$504$と自然数$x$との最大公約数を$g$，最小公倍数を$l$とする．$504$の正の約数の個数を$n$としたとき，$g$の正の約数の個数は$\displaystyle \frac{n}{3}$，$l$の正の約数の個数は$\displaystyle \frac{9}{2}n$であった．$x$の素因数が$2,\ 3,\ 5,\ 7$であるとき，$g,\ l,\ x$の値を求めよ．
(1)$504$の正の約数はいくつあるか求めよ．$1$と$504$自身も正の約数であることに注意せよ．
(2)$504$と自然数$x$との最大公約数を$g$，最小公倍数を$l$とする．$504$の正の約数の個数を$n$としたとき，$g$の正の約数の個数は$\displaystyle \frac{n}{3}$，$l$の正の約数の個数は$\displaystyle \frac{9}{2}n$であった．$x$の素因数が$2,\ 3,\ 5,\ 7$であるとき，$g,\ l,\ x$の値を求めよ．