次の各問の$[　]$にあてはまる数または式を入れよ．

(1)$\sin \theta + \cos \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta = - \displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．　　　　　
(2)不等式$|5x-41|<2x+1$を満たす整数$x$の最大値は[ア][イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)$(x-3y+z)^6$の展開式における，$x^2y^2z^2$の項の係数は[ア][イ][ウ]である．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$2$辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とする．このとき，

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=[ア]$となる．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} = [イ]\overrightarrow{\mathrm{MN}}$である．

次の各設問の$[1]$から$[9]$までの空欄にあてはまる数値を入れよ．

(1)関数$\displaystyle y=3 \sin \left( 2x- \frac{2}{3} \pi \right)$のグラフは$y=3 \sin 2x$のグラフを$x$軸方向に$[1]$だけ平行移動したものであり，その正で最小の周期は$[2]$である．
(2)座標平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$2：1$に内分する点$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 5)$，線分$\mathrm{AC}$を$4：1$に外分する点$\mathrm{Q}$の座標が$(3,\ -3)$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心の座標が$(0,\ 2)$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標は$([3],\ [4])$である．
(3)関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x}{9} \right)^3 + 6\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3x} (1 \leqq x \leqq 27)$の最小値は$[5]$，最大値は$[6]$である．また，最大値$[6]$をとるときの$x$は$[7]$である．
(4)水を満たしたある容器の底に穴を開けてから$x$分後における容器内の水深を$y$メートルとすると，$y$は次式で表される．ただし，$0 \leqq x \leqq 90$とする．
\[ y = 0.9 \times 10^{-4}x^2 - 1.8\times 10^{-2} x +1 \]
$x_1$分から$x_2$分の間に，容器から出た水の量を$\int_{x_1}^{x_2} y\, dx$とする．最初の$1$分間（$x_1=0,\ x_2=1$）に出た水の量に対する$5$分から$6$分の間（$x_1=5,\ x_2=6$）に出た水の量の割合は約$[8] \%$である．容器内の水深$y$が，$x=0$のときの半分になるのは約$[9]$分後である．

次の各問に答えよ．

(1)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく使ってできる$5$桁の整数を小さい方から順に並べたとき，$70$番目の数を$100$で割った余りは$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 16^{\log_2 3}=[イ]$である．
(3)$m^n=1024$を満たす自然数の組$(m,\ n)$は$[ウ]$通りある．その中で最小の$m$は$[エ]$，最小の$n$は$[オ]$である．
(4)$x$の式$(1+x+ax^2)^6$を展開したときの$x^4$の係数は，$a=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる．

$a$を実数とする．$xy$平面上の$2$曲線

\qquad $C_1: y=e^x, \quad C_2: y=-e^{1-x}+a$
を考える．
$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t) (t>0)$における$C_1$の接線$\ell_t$が，$C_2$上の点$\mathrm{Q}(s,\ -e^{1-s}+a)$における$C_2$の接線にもなっているとき，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)$t$と$s$の関係式を求めよ．また，$a$を$t$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$とし，$C_2,\ \ell_t$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．ただし，$\mathrm{Q}$が$y$軸上にあるときは$S_2(t)=0$とする．

(i) $S_1(t),\ S_2(t)$を$t$を用いて表せ．
(ii) $S(t)=S_1(t)+S_2(t)$とする．$t$が$t>0$の範囲を動くとき，$t$の関数$S(t)$の最小値を求めよ．

次の空欄に適する数，数式を入れよ．

(1)$f(x)=|2 \sin x-\cos 2x+\displaystyle\frac{1|{2}}$とおく．$\sin x=[ア]$のとき$f(x)$は最大値$\displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]}$をとる．また，$\sin x = \displaystyle\frac{[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき$f(x)$は最小値[キ]をとる．
(2)$x,\ y,\ z$は次の条件を満たす実数とする．
\[ 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq \frac{4}{5}, \quad x+2y+z = 1 \]
このとき，$y$の最小値は$\displaystyle\frac{[ク]}{[ケ]}$，最大値は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}$である．
(3)不等式
\[ \log_2 x - 6\log_x 2 \geqq 1 \]
の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x < [セ], \quad x \geqq [ソ] \]
である．

$a,\ b$を実数とし，$C_1,\ C_2$をそれぞれ次の$2$次関数のグラフとする．
\[ C_1: y=x^2, \quad C_2: y=-(x-a)^2+2a+b \]

(1)$C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a$と$b$で表すと
\[ a^2+[タ]a+[チ]b \leqq 0 \]
となる．特に$b$のとりうる値の範囲は$b \geqq [ツ]$であり，$b=[ツ]$のとき$C_1$と$C_2$はただ$1$つの共有点$\left( [テ],\ [ト] \right)$をもつ．
(2)$b=6$とし，$C_1$と$C_2$は共有点をもつとすると，
\[ [ナ] \leqq a \leqq [ニ] \]
である．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とすると，$D$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{3} \left( [ヌ]a^2+[ネ]a+[ノ] \right)^{\frac{3}{2}} \]
と表される．$a=[ハ]$のとき$S$は最大値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$をとる．
(3)$a=[ハ]$，$b=6$とし，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D_0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D_0$内を動くとき，$x+2y$の最大値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．

次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ．ただし，$e$は自然対数の底である．必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0.\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}=0$を用いてもよい．

関数$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{e^x}$を考える．

(1)$f(x)$は$x=[ア]$において最小値[イ]をとる．
(2)$k$を定数とする．$x$についての方程式$f(x) = k$が二つの実数解をもつとき，$k=[ウ]$である．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は
$[エ]-\sqrt{[オ]}, \quad [エ]+\sqrt{[オ]}$
である．

$x$の$3$次式$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は，$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において
\[ f(\cos \theta) = \cos 3\theta - \sqrt{3} \cos 2\theta \]
を常に満たすとする．

(1)$a=[ア],\ b=[イ]\sqrt{[ウ]},\ c=[エ],\ d=\sqrt{[オ]}$である．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において，$\cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta$は
\[ \theta = \frac{[カ]}{[キ]}\pi \text{のとき最小値} \frac{[ク]}{[ケ]}\sqrt{[コ]} \text{をとり，} \]
\[ \theta = \frac{[サ]}{[シ]}\pi \text{のとき最大値} \sqrt{[ス]} \text{をとる．} \]
(3)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において，
\[ \cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \geqq \alpha\cos \theta + \sqrt{3} \]
が常に成り立つような$\alpha$の最大値は$\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]}$である．
(4)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において，
\[ \cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \leqq \beta\cos \theta + \sqrt{3} \]
が常に成り立つような$\beta$の最小値は$[タ]+[チ]\sqrt{[ツ]}$である．

次の空欄$[ア]$から$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$(x+3)|x-4|+2x+6=0$の解は$x=[ア]$である．
(2)曲線$y=x^3-3x^2+1$上の点$(1,\ -1)$における接線が，放物線$y=ax^2+a$と接するとき，$a=[イ]$である．ただし，$a>0$とする．
(3)$\displaystyle\frac{1}{2-i}+\frac{1}{3+i}=a+bi$となる実数$a,\ b$を求めると，$a=[ウ]$，$b=[エ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)白玉$4$個と赤玉$2$個が入っている袋がある．この袋から同時に玉を$3$個とりだすとき，白玉の数がちょうど$2$個である確率は$[オ]$である．
(5)$\displaystyle\tan \theta=\frac{1}{2}$のとき，$\displaystyle\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = [カ]$である．ただし，$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする．
(6)実数$x$が$x>1$の範囲を動くとき，$\log_3 x + 3\log_x 3$の最小値は$[キ]$である．
(7)関数$f(x)$が実数$a$に対して，等式$\displaystyle\int_a^x f(t)\, dt = x^3+x^2-6x-a^2-9$を満たすとき，$a$の値は$[ク]$である．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$があり，$\triangle \mathrm{ABD}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積の比が$3:2$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AD}} = [ケ]\overrightarrow{\mathrm{AB}}+[コ]\overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

座標平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．点$\mathrm{P}(p,\ 0)$と点$\mathrm{Q}(0,\ q)$を通る直線が円$C$上の点$\mathrm{R}$において円$C$と接している．ただし，$p>1$，$q>1$とする．このとき，次の問(1)～(4)に答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の長さを$t$とするとき，$p$と$q$を$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る円の直径を$d$とするとき，$d^2$を$t$を用いて表せ．
(4)$d$の最小値を求めよ．また，そのときの$p$の値を求めよ．