次の問いに答えよ．

(1)関数$y=3 |x^2-2x-3|$のグラフをかけ．
(2)$1<t<3$を満たす定数$t$を考える．曲線$y=3 |x^2-2x-3|$の$t \leqq x \leqq t+2$における部分と$x$軸，および$2$直線$x=t$，$x=t+2$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$t$が$1<t<3$の範囲を動くときの$S(t)$の最小値と，そのときの$t$の値を求めよ．

関数$f(x)=|x+2 \sin (x+a)+b|$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$での最大値と最小値の差は，定数$a,\ b$によらず常に$\pi$以上で，かつ$\displaystyle \left( \frac{4\pi}{3}+2 \sqrt{3} \right)$以下であることを示せ．

関数$f(x)=x^2-2px+q$は最小値$-4$をとるものとする．以下の問に答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$f(x)=0$となる$x$を$p$を用いて表せ．
(3)$p>0$のとき，関数$g(x)=|f(x)| (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を与える$x$を求めよ．

$m>1$とし，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
(y-2mx)(y+2mx-3m^2) \leqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=x^2$と$y=-2mx+3m^2$の共有点を求めよ．
(2)領域$D$を図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-6mx$の最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=x^2-2px+q$は最小値$-4$をとるものとする．以下の問に答えよ．

(1)$q$を$p$を用いて表せ．
(2)$f(x)=0$となる$x$を$p$を用いて表せ．
(3)$p>0$のとき，関数$g(x)=|f(x)| (-1 \leqq x \leqq 1)$の最小値を与える$x$を求めよ．

$m>1$とし，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
(y-2mx)(y+2mx-3m^2) \leqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=x^2$と$y=-2mx+3m^2$の共有点を求めよ．
(2)領域$D$を図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-6mx$の最大値と最小値を求めよ．

$a$を正の定数とし，曲線$C:y=|x^2-x|$と直線$\ell:y=ax$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$を変化させたとき，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$f(x)=2xe^{-x}$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数$a$に対して，$\displaystyle I_a=\int_0^1 xe^{-ax} \, dx$，$\displaystyle J_a=\int_0^1 x^2e^{-ax} \, dx$とおく．$J_a$を$I_a$と$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と，$3$直線$x=0$，$x=1$および$y=t$で囲まれた図形を，直線$y=t$を軸として$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．$t$を動かしたとき，$V(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

$xy$平面において，関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x}}$が表す曲線を$C$とし，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{\sqrt{t}} \right)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸，直線$x=t$，および点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L(t)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$L(t)$の最小値を求めよ．

関数
\[ y=(\cos x-\sin x+1) \sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$t=\cos x-\sin x$とおくとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$の最大値・最小値と，そのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．