関数
\[ f(x)=|x| \left( \frac{1}{3}x^2-\frac{1}{4}x \right)-\frac{3}{4}x^2+1 \]
に対し，以下の設問に答えよ．

(1)$a<0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f^\prime(a)$を求めよ．
(2)$b>0$とするとき，関数$y=f(x)$の$x=b$における微分係数$f^\prime(b)$を求めよ．
(3)関数$y=f(x)$の区間$-2 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．

次の問いの答を記入せよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=4$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=6$のとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定義域が$0 \leqq x \leqq 3$である$2$次関数$y=-ax^2+2ax+b$の最大値が$3$で，最小値が$-5$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(4)$3$つの数$x-2,\ x+1,\ x+7$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めよ．
(5)白玉$3$個，赤玉$2$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し色を確認してからもとに戻す．この操作を$3$回続けて行う．$1$回目に白，$2$回目に赤，$3$回目に赤の玉が取り出される確率を求めよ．ただし，どの玉も取り出される確率は等しいとする．
(6)関数$y=x^3-12x$の区間$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(7)次の条件を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f^\prime(x)=6x^2-2x+3 \\
f(1)=7
\end{array} \right. \]

関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフと接する$2$本の直線$\ell_1$，$\ell_2$が第$2$象限で交わっている．実数$a,\ b$は$a>0$，$b<0$とし直線$\ell_1$は点$(a,\ 0)$を通り，直線$\ell_2$は点$(b,\ 0)$を通る．点$\mathrm{A}$は直線$\ell_1$と$x$軸の交点，点$\mathrm{B}$は直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点，点$\mathrm{C}$は直線$\ell_2$と$y$軸の交点とする．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$\displaystyle t=\frac{a}{b}$の関数で，
\[ S=\frac{[テ](t+[ト])t}{t+[ナ]} \]
となり，面積$S$は$t=[ニ]-\sqrt{[ヌ]}$で最小値をとる．

曲線$C:y=e^x$と直線$\ell:y=x$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$を通り，直線$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と直線$\ell$との交点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$t$で表せ．
(4)$(3)$で求めた距離の最小値を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[カ]$を適当に補え．

(1)円$x^2+y^2=3$と直線$x-y+k=0$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，方程式$\cos 2x=5 \sin x-2$を解くと$x=[イ]$である．
(3)$t$を実数とする．$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-2tx+t$の最小値を$k$とする．$k$を最大にする$t$の値は$t=[ウ]$であり，そのときの$k$の値は$k=[エ]$である．
(4)$f(x)=x^3+3x^2$，$g(x)=2x^2$とする．$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$平行移動して得られるグラフの方程式を，$y=h(x)$とする．このとき，$y=h(x)$のグラフと$y=f(x)$のグラフの交点のうち，$x$座標の最も大きいものは$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．

次の空欄$[$\mathrm{(a)]$}$～$[$\mathrm{(g)]$}$を適当に補え．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$のとき，$x+y$の値は$[$\mathrm{(a)]$}$である．
(2)$2$次方程式$2x^2+3x+k=0$において，$2$つの解の比が$1:2$であるとき，定数$k$の値は$[$\mathrm{(b)]$}$である．
(3)${64}^{1.5} \times {32}^{-0.4}=[$\mathrm{(c)]$}$である．
(4)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2 \sqrt{2}$を満たすとき，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=[$\mathrm{(d)]$}$である．
(5)$\displaystyle \left( 2x-\frac{1}{4} \right)^{10}$の展開式における$x^6$の係数は$[$\mathrm{(e)]$}$である．
(6)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta+2$の最小値は$[$\mathrm{(f)]$}$であり，そのときの$\theta$の値は$[$\mathrm{(g)]$}$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

(1)$x+y=\sqrt{3}$，$x^2+y^2=5$のとき，$x^3+y^3$は$[　]$であり，$\displaystyle \frac{y}{x^2}+\frac{x}{y^2}$は$[　]$である．
(2)次の問いに答えよ．

(i) $\sin 1$，$\sin 2$，$\sin 3$，$\sin 4$のなかで，負となるものは$[　]$である．また，正となるものの最小値は$[　]$であり，最大値は$[　]$である．
(ii) $A,\ B (A \neq B)$がいずれも鋭角のとき，次の$3$つの数の最小値は$[　]$，最大値は$[　]$である．
\[ \sin \frac{A+B}{2},\quad \sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2},\quad \frac{\sin A+\sin B}{2} \]

関数$f(x) = \sin 2x+3 \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)導関数$f^{\, \prime}(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(2)$a$を定数として，$g(x) = f(x)-ax$と定義するとき，$g(x)$が極値をもつような$a$の値の範囲を求めよ．

関数$f(x)=xe^x$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)$f(x)$の接線の傾きが負であるとき，接線と$x$軸との交点の$x$座標の最大値を求めよ．

Oを原点とする座標平面において，曲線$y=x^3$上の点P$(t,\ t^3)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をHとする．ただし，$t>0$である．Hを通り線分OPに垂直な直線と$y$軸との交点をQとし，線分HQと線分OPの交点をRとする．$\triangle$ORQの面積を$S_1$，$\triangle$HPRの面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．