次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{10^x-10^{-x}}{10^x+10^{-x}}$が$\displaystyle f(a)=\frac{1}{2},\ f(b)=\frac{1}{5}$を満たすとき，
\[ a=\frac{1}{2} \log_{10} [　],\quad b=\frac{1}{2}(\log_{10} [　]-\log_{10} [　]) \]
であり，$f(a+b)$の値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．
(2)関数$f(x)=2^{-3x}-9 \cdot 2^{-2x}+24 \cdot 2^{-x}-20$は$\displaystyle -2 \leqq x \leqq -\frac{1}{2}$において最小値$-[　]$，最大値$[　]$をとる．

数列$\{a_n\},\ \{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を

$\displaystyle \{a_n\}:\frac{4}{1 \cdot 2},\ \frac{4}{2 \cdot 3},\ \frac{4}{3 \cdot 4},\ \frac{4}{4 \cdot 5},\ \cdots$

$\displaystyle \{b_n\}:\frac{9}{1 \cdot 2 \cdot 3},\ \frac{16}{2 \cdot 3 \cdot 4},\ \frac{23}{3 \cdot 4 \cdot 5},\ \frac{30}{4 \cdot 5 \cdot 6},\ \cdots$

として次の問いに答えよ．

(1)各数列の一般項は$\displaystyle a_n=\frac{4}{n(n+1)},\ b_n=\frac{[　] n+[　]}{n(n+1)(n+2)}$である．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k,\ T_n=\sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ S_n=\frac{[　] n}{n+1},\quad T_n=\frac{[　] n^2+[　] n}{(n+1)(n+2)} \]
である．
(3)$\displaystyle S_n-T_n<\frac{1}{4}$を満たす自然数$n$の最小値は$[　]$である．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:1-t (0 \leqq t \leqq 1)$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{BPC}=\theta$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を$t$と$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|=\sqrt{t^2-t+1}$を示せ．
(3)点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{OA}$を動くとき，$\cos \theta$の最小値を求めよ．

$x$の$2$次関数$f(x)=x^2-2ax+a^3$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値$m$を$a$を用いて表せ．
(2)区間$0 \leqq a \leqq 2$における$m$の最小値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$y=x^3+3x^2-2$のグラフを描け．
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=(-\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)^3+3(-\sin \theta+\sqrt{3}\cos \theta)^2-2$の最大値と最小値，およびそのときの$\theta$の値を求めよ．

式，$1$次関数，$2$次関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．

\mon[$①$] $16xy-40x-6y+15$
\mon[$②$] $9x^2+12xy+4y^2+12x+8y$
\mon[$③$] $54x^3-16y^3$
\mon[$④$] $x^4-16y^4$

(2)$1$次関数$y=ax+b$の$-3 \leqq x \leqq 4$における最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値をすべて求めよ．
(3)次の$2$次関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を求めよ．

\mon[$①$] $y=-2x^2+4x+4$
\mon[$②$] $y=3x^2+5x+1$

式，$1$次関数，$2$次関数について以下の問に答えよ．

(1)次の式を因数分解せよ．

\mon[$①$] $16xy-40x-6y+15$
\mon[$②$] $9x^2+12xy+4y^2+12x+8y$
\mon[$③$] $54x^3-16y^3$
\mon[$④$] $x^4-16y^4$

(2)$1$次関数$y=ax+b$の$-3 \leqq x \leqq 4$における最大値が$6$，最小値が$-2$であるとき，定数$a,\ b$の値をすべて求めよ．
(3)次の$2$次関数の$-1 \leqq x \leqq 2$における最小値を求めよ．

\mon[$①$] $y=-2x^2+4x+4$
\mon[$②$] $y=3x^2+5x+1$

関数$f(x)=x^2-1$と$g(x)=2a-f(x)$がある．ただし，$a$は定数とする．

(1)方程式$f(x)-g(x)=0$が異なる$2$つの実数解を持ち，かつ，それらが$-1$より大きいとき，$a$の値の範囲を求めよ．また，このとき，方程式$f(x)-g(x)=0$の解を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとし，座標平面上に$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフがあるとする．

\mon[$(2$-$1)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_1$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$2)$] $y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフの共有点のうち，$x$座標が負である共有点を$\mathrm{P}$とする．このとき，直線$x=-1$，$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$y=f(x)$のグラフ，および，$y=g(x)$のグラフとで囲まれる部分の面積$S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$3)$] 面積の和$S=S_1+S_2$を$a$を用いて表せ．
\mon[$(2$-$4)$] $(1)$で求めた範囲内で$a$を変化させたとき，$S$の最小値とその最小値を与える$a$の値を求めよ．

$a$は正の定数で，$a>1$とする．次の問いに答えよ．

(1)不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x-a \\
y \leqq x(a-x)
\end{array} \right. \]
を満たす領域$D$を図示せよ．
(2)$(1)$で定まる領域$D$内の点$(x,\ y)$について，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$に対して，次の問いに答えよ．ここで$a$は$-\infty<a<\infty$の範囲の定数とする．

(1)$e^{-1}<a<1$であるとき，$x$の関数$y=|e^{-x|-a}$のグラフの概形を座標平面上にかけ．
(2)$\displaystyle f(a)=\int_0^1 |e^{-x|-a} \, dx$とおく．$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$-\infty<a<\infty$であるとき，$f(a)$の最小値を求めよ．