数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt{x}} (x>0)$として，次の問いに答えよ．

(1)閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において，$f(x)$の最大値と最小値，導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(2)$4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ．
(4)上の$(3)$で決定した$c$に対して，$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$2$次関数$y=4x^2-16x-9$において，最小値は$x=[キ]$のとき，$y=[ク]$である．また，$y \leqq 0$となる$x$の範囲を求めると$[ケ]$である．

この$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle \frac{3}{2}$，$y$軸方向に$a$だけ平行移動すると点$(1,\ 7)$を通った．このとき，$a=[コ]$である．

$r$を$r>1$である定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$は，原点$\mathrm{O}$を除く円$C:(x-r)^2+y^2=r^2$上を動くとする．点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}(p,\ q)$は，$\mathrm{OP} \times \mathrm{OQ}=1$を満たし，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は一直線上にあり，$p>0$であるとする．また点$\mathrm{Q}$に対して，点$\mathrm{R}(p,\ -q)$を考える．このとき次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ．
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ．

$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．線分$\mathrm{AB}$を$p:(1-p) (0<p<1)$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OC}$を$q:(1-q) (0<q<1)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ p,\ q$を用いて表し，次の空欄$[タ]$～$[ツ]$に$p,\ q$を用いた値や式を記せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\left( [タ] \right) \overrightarrow{a}+\left( [チ] \right) \overrightarrow{b}+\left( [ツ] \right) \overrightarrow{c} \quad \cdots\cdots ① \]
(2)${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$を求める過程を記した次の文章の空欄$[テ]$～$[ト]$に適切な値や式を記せ．
$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$は，いずれも$1$辺の長さが$2$の正三角形だから，
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=2 \quad \cdots\cdots ② \]
かつ，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=[テ] \quad \cdots\cdots ③ \]
$①,\ ②,\ ③$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$は$p,\ q$を用いて次のように表せる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left( [ト] \right) \quad \cdots\cdots ④ \]
(3)点$\mathrm{D}$，点$\mathrm{E}$がそれぞれ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$上を動くとき，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$の最小値を求める過程を記した次の文章の空欄$[ナ]$～$[ネ]$に適切な値や式を記せ．
$④$は次のように変形できる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left\{ \left( p-[ナ] \right)^2+\left( q-[ニ] \right)^2+[ヌ] \right\} \quad \cdots\cdots ⑤ \]
$⑤$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$は$p=[ナ]$，$q=[ニ]$のとき最小値$[ネ]$をとる．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線を$L$とする．ただし，$t$は正の実数とする．

(1)$L$の方程式を求めよ．
(2)$L$と$C$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$t$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値と，最小値を与える$t$の値を求めよ．

$x$が実数全体を動くとき，関数$4 \cos 2x-\cos x$の最大値と最小値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\left( \log_4 \frac{x^2}{4} \right)^4-\log_2 \frac{x^4}{32} (1 \leqq x \leqq 16)$について，次の設問に答えよ．

(1)$\log_2 x$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$である．
(2)$f(x)$は
\[ f(x)=\left( \log_2 x+[ウエ] \right)^{\mkakko{オ}}+[カキ] \log_2 x+[ク] \]
と表すことができる．
(3)$f(x)$は

$x=[ケコ]$のとき，最大値$[サシ]$
$x=[ス]$のとき，最小値$[セソ]$

をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について，
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である．
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である．
(3)$a,\ b$を整数とする．$a$を$13$で割ると$10$余り，$b$を$13$で割ると$7$余るとき，$a+b$，$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$，$[ケ]$である．また，$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である．
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり，そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある．
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき，
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である．
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ，$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは，関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である．このとき，もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である．
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$，$y \geqq 0$を満たすとき，$6x+3y$は$x=[ケ]$，$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり，$x=[スセ]$，$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる．
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき，$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である．

さいころを$3$回投げて出た目を順に$a,\ b,\ c$とする．$2$次関数$y=ax^2+bx+c$の最小値を$m$とするとき，$\displaystyle m>\frac{11}{2}$となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウ]}$である．

$3$点$\mathrm{A}(6,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 4,\ -1)$を通る平面$\alpha$に対して，以下の問に答えよ．

(1)平面$\alpha$の方程式を$ax+by+cz=6$としたとき，$a=[ナ]$，$b=[ニ]$，$c=[ヌ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \frac{[ネ]}{[ノ]},\ \frac{[ハ]}{[ヒ]},\ \frac{[フ]}{[ヘ]} \right) \]
である．
(3)平面$\alpha$上に点$\mathrm{A}$を中心とした半径$\sqrt{2}$の円$\beta$を考える．点$\mathrm{P}$が円$\beta$上を動くとき，$\mathrm{OP}$の最小値は$\sqrt{[ホマ]}$である．