「最小値」について
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私立 津田塾大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，
\[ \sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \]
の最大値と最小値を求めよ．
(2)空間内の$2$点$(-2,\ 5,\ -1)$，$(2,\ 1,\ 3)$を通る直線の，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$z \geqq 0$を同時に満たす部分の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{TSUDAJUKU}$という単語に使われている$9$文字から$4$文字を選び順列を作る．$\mathrm{U}$という文字がちょうど$2$文字含まれる順列は何通りあるか．
(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，
\[ \sin \left( x+\frac{\pi}{3} \right)+\cos \left( x-\frac{\pi}{3} \right) \]
の最大値と最小値を求めよ．
(2)空間内の$2$点$(-2,\ 5,\ -1)$，$(2,\ 1,\ 3)$を通る直線の，$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$z \geqq 0$を同時に満たす部分の長さを求めよ．
(3)$\mathrm{TSUDAJUKU}$という単語に使われている$9$文字から$4$文字を選び順列を作る．$\mathrm{U}$という文字がちょうど$2$文字含まれる順列は何通りあるか．
私立 立教大学 2016年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$x,\ y$を実数とするとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり，最大値は$[イ]$である．
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは，$x=[ウ]$，$y=[エ]$のときである．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は，$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である．また，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている．この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である．このとき，袋の中の白玉は$[ケ]$個である．また，取り出した玉を元に戻し，この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である．
(1)$x,\ y$を実数とするとき，座標平面上の点$\mathrm{P}(3 \sin x+5 \sin y,\ 3 \cos x+5 \cos y)$と原点との距離の最小値は$[ア]$であり，最大値は$[イ]$である．
(2)$2016x+401y=1$を満たす整数$x,\ y$で$0<x<401$となるのは，$x=[ウ]$，$y=[エ]$のときである．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$のとき，関数$f(x)=\sqrt{x}+2 \sqrt{1-x}$は，$x=[オ]$において最大値$[カ]$をとる．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$を通る直線と$xy$平面の交点を$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{C}$の座標は$[キ]$である．また，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OC}$のなす角を$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とすると，$\cos \theta=[ク]$である．
(5)袋の中に赤玉と白玉が合わせて$8$個入っている．この袋の中から$2$個の玉を同時に取り出すとき，取り出した玉が両方とも白である確率が$\displaystyle \frac{5}{14}$である．このとき，袋の中の白玉は$[ケ]$個である．また，取り出した玉を元に戻し，この袋からあらたに$2$個の玉を同時に取り出すとき，赤玉と白玉が$1$個ずつである確率は$[コ]$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2016年 第3問$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\cos^2 \theta+2 \sin \theta$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第4問$c$を$0<c<1$を満たす実数とする．関数
\[ F(x)=\int_0^x (t-c) \log \left( t^2-t+\frac{1}{2} \right) \, dt \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)$F^\prime(x)<0$となる$x$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(3)$F(x)$が極大値をとる$x$の値と極小値をとる$x$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき，$x \geqq 0$の範囲における$F(x)$の最小値を求めよ．
\[ F(x)=\int_0^x (t-c) \log \left( t^2-t+\frac{1}{2} \right) \, dt \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)$F^\prime(x)<0$となる$x$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(3)$F(x)$が極大値をとる$x$の値と極小値をとる$x$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき，$x \geqq 0$の範囲における$F(x)$の最小値を求めよ．
私立 立教大学 2016年 第3問$a$を$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$を満たす実数とする．このとき，関数$f(x)=|x^2-2ax|$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
また，$\displaystyle a=\frac{4}{9}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)$f(a)=f(1)$となる$a$の値を$A$とする．このとき，$A$を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq A$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A \leqq a \leqq \frac{1}{2}$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(5)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の関数として，$M(a)$で表す．$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$における$M(a)$の最小値を求めよ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
また，$\displaystyle a=\frac{4}{9}$のときの，$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)$f(a)=f(1)$となる$a$の値を$A$とする．このとき，$A$を求めよ．
(3)$0 \leqq a \leqq A$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle A \leqq a \leqq \frac{1}{2}$とする．$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$を用いて表せ．
(5)$0 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最大値を$a$の関数として，$M(a)$で表す．$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{1}{2}$における$M(a)$の最小値を求めよ．
私立 名城大学 2016年 第2問関数$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{2}-2 |x-1|+2$について，次の各問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-4 \leqq x \leqq 2$のときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$3$つの部分の面積の和を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$-4 \leqq x \leqq 2$のときの$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$で囲まれた$3$つの部分の面積の和を求めよ．
私立 自治医科大学 2016年 第2問関数$y=4^x+4^{-x}-2^{x+1}-2^{1-x}$は，$x=a$のとき最小値$b$をとる．$|a+b|$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2016年 第5問関数$y=4(\cos 2x-\cos x)+7 \sin^2 x+3 \cos^2 x$について，最大値を$M$，最小値を$m$としたとき，$|M-m|$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2016年 第10問点$z$は複素数とする．点$z$は，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円上を動く．$\displaystyle w=\frac{6z-1}{2z-1}$としたとき，$|w|$の最大値を$M$，最小値を$m$とする．$3(M-m)$の値を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第3問座標空間内の$4$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 5)$，$\mathrm{C}(2,\ 3,\ -1)$，$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$を考える．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に，下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で，大きさが$1$のベクトルをすべて求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$から，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面$\alpha$に，下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(4)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．
(5)四面体$\mathrm{PABC}$の体積$V$の最大値と最小値を求めよ．