「最大」について
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国立 防衛医科大学校 2015年 第2問スイッチを押すと，$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある．表示される数字を$X$とすると，$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である．ただし，$C$は定数，$0<\alpha<1$である．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第4問正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{100}$の値を求めよ．
(2)$a_n=6$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)正の整数$k$に対して，$a_n=2k$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(1)$a_{100}$の値を求めよ．
(2)$a_n=6$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)正の整数$k$に対して，$a_n=2k$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第3問正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{100}$の値を求めよ．また，$a_n=a_{100}$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．
(1)$a_{100}$の値を求めよ．また，$a_n=a_{100}$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第3問正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．
(1)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2015年 第4問方程式$29x+33y=1$について，次の問いに答えなさい．
(1)整数解をすべて求めなさい．
(2)整数解$x,\ y$のうち，$|\displaystyle\frac{x|{y}}$が最大となる$x,\ y$を求めなさい．
(1)整数解をすべて求めなさい．
(2)整数解$x,\ y$のうち，$|\displaystyle\frac{x|{y}}$が最大となる$x,\ y$を求めなさい．
国立 三重大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
$a_1=119,\quad a_{n+1}-a_n=12n-61 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}=-\frac{1}{2}n(n-2c+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める．ここで$c$は$5<c<6$を満たす定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$a_nb_n>0$となる$n$をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_kb_k$が最大になる$n$を求めよ．
$a_1=119,\quad a_{n+1}-a_n=12n-61 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{b_k}=-\frac{1}{2}n(n-2c+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める．ここで$c$は$5<c<6$を満たす定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$a_nb_n>0$となる$n$をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_kb_k$が最大になる$n$を求めよ．
国立 高知大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき
\[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \]
を示せ．
次の$3$題$(2)$～$(4)$から$1$題選択して解答せよ．
(2)$12$個のサイコロを同時に投げたとき，$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする．$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ．
(3)$a$を正の整数とし，$p,\ q$を素数とする．このとき，$2$次方程式
\[ ax^2-px+q=0 \]
の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に，異なる$2$点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を，$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ．$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と，$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする．このとき
\[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \]
となることを示せ．
(1)$\displaystyle |x+1|<\frac{1}{2},\ |y-2|<\frac{1}{3}$のとき
\[ |-8x^3+12xy+3y^2+4|<10 \]
を示せ．
次の$3$題$(2)$～$(4)$から$1$題選択して解答せよ．
(2)$12$個のサイコロを同時に投げたとき，$1$の目がちょうど$n$個出る確率を$P_n$とする．$P_n$は$n=2$のとき最大になることを示せ．
(3)$a$を正の整数とし，$p,\ q$を素数とする．このとき，$2$次方程式
\[ ax^2-px+q=0 \]
の$2$解が整数となるような組$(a,\ p,\ q)$をすべて求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に，異なる$2$点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$を，$\mathrm{BXYC}$の順に並ぶように選ぶ．$\mathrm{X}$を通り$\mathrm{AB}$に平行な直線と，$\mathrm{Y}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Z}$とする．このとき
\[ \frac{\mathrm{CY}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{YZ}}{\mathrm{XZ}} \]
となることを示せ．
国立 三重大学 2015年 第5問数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$を
$a_1=119,\quad a_{n+1}-a_n=12n-61 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=-\frac{1}{2}n(n-2c+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める．ここで$c$は$5<c<6$を満たす定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}>0$となる$n$をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}$が最大になる$n$を求めよ．
$a_1=119,\quad a_{n+1}-a_n=12n-61 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$,
$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k=-\frac{1}{2}n(n-2c+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定める．ここで$c$は$5<c<6$を満たす定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{a_n}{b_n}>0$となる$n$をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}$が最大になる$n$を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第6問次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．
\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．
\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．
国立 信州大学 2015年 第5問次の条件$(*)$を満たすような実数$a$で最大のものを求めよ．
\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．
\mon[$(*)$] $\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲のすべての$x$に対して$\cos x \leqq 1-ax^2$が成り立つ．