平面上の$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線と線分$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{OBA}$の二等分線と線分$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{Q}$とおく．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BQ}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{OA}=x$，$\mathrm{OB}=y$，$\mathrm{AB}=1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と平行で向きが同じである単位ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{u}$，$\overrightarrow{v}$とおく．このとき次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$x,\ y,\ \overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{OR}$と直線$\mathrm{AB}$が垂直であるとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{PQ}$が平行となることを示せ．
(4)$2 \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=-1$であり，$x,\ y$が変化するとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさが最大となるときの$x,\ y$の値と$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$の大きさをそれぞれ求めよ．

不等式$x^2-4<x+2$を満たす整数のうち最大のものは，$x=[ア]$である．

関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフにおいて，$y$座標の値が最大となる点を$\mathrm{A}$，変曲点を$\mathrm{B}$とし，点$\mathrm{B}$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求め，関数$y=xe^{-x} (x \geqq 0)$のグラフをかけ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることを用いてよい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$および関数$y=xe^{-x}$のグラフの点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$までの部分で囲まれた図形の面積$S_1$を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
(3)$S_1$と三角形$\mathrm{OBC}$の面積$S_2$の大小を比較せよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{

（図は省略）
}
図のような$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点とする直方体を，平面$x+y+z=a (1<a<3)$で切断したとき，その断面の面積$S$は
\end{mawarikomi}
\[ \frac{\sqrt{[$16$]}}{[$17$]} \left( [$18$][$19$]a^2+[$20$][$21$]a+[$22$][$23$] \right) \]
となる．

また，切断した断面の各頂点と$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を結んでできる角錐の体積$V$は，
\[ a=\frac{[$24$]+\sqrt{[$25$][$26$]}}{[$27$]} \]
のときに最大になる．このとき，
\[ V=\frac{[$28$][$29$]+[$30$][$31$] \sqrt{[$32$][$33$]}}{[$34$][$35$]} \]
である．

実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表すものとする．

(1)数列$\displaystyle a_1=\frac{1}{[\sqrt{1}]},\ a_2=\frac{2}{[\sqrt{2}]},\ a_3=\frac{3}{[\sqrt{3}]},\ \cdots,\ a_n=\frac{n}{[\sqrt{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$[$70$][$71$]$個である．また，$a_n=10$と最初になるのは$n=[$72$][$73$]$のときである．さらに，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$としたとき，$S_{99}=[$74$][$75$][$76$]$である．
(2)数列$\displaystyle b_1=\frac{1}{[\sqrt[3]{1}]},\ b_2=\frac{2}{[\sqrt[3]{2}]},\ b_3=\frac{3}{[\sqrt[3]{3}]},\ \cdots,\ b_n=\frac{n}{[\sqrt[3]{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$[$77$][$78$]$個である．また，$b_n=10$と最初になるのは$n=[$79$][$80$]$のときである．さらに，$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n b_i$としたとき，$T_{124}=\kakkofour{$81$}{$82$}{$83$}{$84$}$である．

座標平面上における放物線$C:y=x^2-2x+1$と直線$\ell:y=x$の$2$つの交点のうち，$x$座標の値が小さい方の点を$\mathrm{A}(p,\ p)$とする．直線$\ell$上の点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{A}$の間にある点$\mathrm{D}(q,\ q)$を通り$y$軸と平行な直線と放物線$C$との交点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{E}$を通り$x$軸と平行な直線と放物線$C$とのもう$1$つの交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$p$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{EF}$の長さを$q$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$q$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，三角形$\mathrm{DEF}$の面積が最大となる$q$の値を求めよ．
(5)$q$が$(4)$で求めた値であるときの三角形$\mathrm{DEF}$の面積を求めよ．

$6$人の学生$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$がいて，学生は$3$つの部屋$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$のいずれかの部屋に必ず入る．それぞれの部屋の最大収容人数は，$\mathrm{X}$が$2$人，$\mathrm{Y}$が$3$人，$\mathrm{Z}$が$4$人である．$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$の部屋に入る人数を$(x,\ y,\ z)$と表す．例えば，$\mathrm{X}$に$1$人，$\mathrm{Y}$に$2$人，$\mathrm{Z}$に$3$人が入るとき，$(1,\ 2,\ 3)$と表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{X}$を空き部屋とし，$\mathrm{Y}$に$2$人，$\mathrm{Z}$に$4$人入るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(2)$\mathrm{X}$が空き部屋のときの，可能な$(0,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$が空き部屋のときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(3)$\mathrm{X}$に$1$人だけが入るときの，可能な$(1,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$に$1$人だけが入るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(4)$\mathrm{X}$が満室になり，かつ空き部屋がないときの，可能な$(2,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$が満室になり，かつ空き部屋がないときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(5)$\mathrm{a}$と$\mathrm{b}$が一緒の部屋にならず，かつ空き部屋があるときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．

図のように辺の長さが$a$と$b$である長方形があり，$ab=1$とする．この長方形の四隅から，一辺の長さが$\displaystyle c \left( 0<c<\frac{1}{2} \right)$の正方形を切り取り，残った部分を組み立ててできる直方体の容器の容積を$V$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して，$a$と$b$が変化するとき，$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$V$を最大にする$a$の値と，そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す．このとき，$M(c)$を最大にする$c$の値と，そのときの$M(c)$の値を求めよ．

$1$個のサイコロを$28$回続けて投げる反復試行において，$5$の目が$r$回（$0 \leqq r \leqq 28$）出る確率を$P(r)$とする．$P(r)$を最大にする$r$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=a_n-3n+\frac{1}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．第$n$項$a_n$に対して，$a_n$を超えない最大の整数を$b_n$，また$c_n$を$c_n=a_n-b_n$より定める．ここで実数$x$に対し$x$を超えない最大の整数とは，$N \leqq x<N+1$を満たす整数$N$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ b_2,\ b_3$の値をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 3$のとき，数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(4)正の整数$n$に対して，数列$\{d_n\}$を$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n b_kc_k$で定める．数列$\{d_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．