次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．

次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．

正の整数$n$を
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ．ここで，$k=1$の場合，すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす．

いま，$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって，積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を$P(n)$と書くことにする．

(1)$P(4)$を求めなさい．
(2)$n>1$とする．$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい．
(3)最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい．
(4)最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい．
(5)$P(20)$を求めなさい．

下図のように，等しい辺の長さが$a$，その挟む角（頂角）が$2 \theta$である二等辺三角形を$4$つ使って四面体を作る．$x=\cos^2 \theta$とおけば，四面体の体積$V$は
\[ V=\frac{[$24$][$25$]}{[$26$][$27$]} (1-[$28$]x) \sqrt{[$29$]x-1} a^3 \]
となる．このように作られる四面体のなかで最大の四面体の体積は
\[ \frac{[$30$] \sqrt{[$31$]}}{[$32$][$33$]}a^3 \]
である．
（図は省略）

$x$に関する$3$つの関数$f_1(x)=x(15-x)$，$\displaystyle f_2(x)=\frac{x(30-x)}{2}$，$f_3(x)=x(17-x)$が与えられている．

(1)$x_1+x_2=c$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$という条件の下で$f_1(x_1)+f_2(x_2)$を最大にする問題を考える．ただし，$c$は$20$以下の正数とする．最大値$V(c)$を与える$x_1,\ x_2$の値をそれぞれ$p,\ q$とすると，$\displaystyle q=\frac{[$10$][$11$]}{[$12$][$13$]}c$である．$V(c)=42$となる$c$の値は$[$14$][$15$]$である．
(2)$x_1+x_2+x_3=20$，$x_1 \geqq 0$，$x_2 \geqq 0$，$x_3 \geqq 0$という条件の下で
\[ f_1(x_1)+f_2(x_2)+f_3(x_3) \]
を最大にする問題を考える．最大値を与える$x_1,\ x_2,\ x_3$の値をそれぞれ$p,\ q,\ r$とすると
\[ q=\frac{[$16$][$17$]}{[$18$][$19$]},\quad r=\frac{[$20$][$21$]}{[$22$][$23$]} \]
である．

円$x^2+y^2=2$と直線$y=2x+k$は相異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする（$\mathrm{O}$は原点）．$S$が最大となるときの$k$の値を$M$としたとき，$M^2$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle x<\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$をみたす最大の整数$x$は$[アイ]$である．
(2)等式$\displaystyle \frac{x+5}{x^2+x-2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[ウ]$，$b=[エオ]$である．
(3)点$(-4,\ a)$と直線$3x+4y-1=0$との距離が$1$であるとき，$a=[カ]$または$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(4)$\displaystyle \left( x-\frac{2}{3} \right)^9$の展開式において，$x^8$の係数は$[ケコ]$であり，$x^7$の係数は$[サシ]$である．
(5)$\overrightarrow{a}=(3,\ t+1,\ 1)$と$\displaystyle \overrightarrow{b}=\left( 2,\ -3,\ \frac{3}{2}t \right)$が垂直であるとき，$t=[ス]$である．
(6)$\displaystyle (5^{\frac{1}{3}}-5^{-\frac{1}{3}})(5^{\frac{2}{3}}+1+5^{-\frac{2}{3}})=\frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(7)$\log_{10}2=p$とおくと，$\log_{10}5=[チ]-p$であり，$\displaystyle \log_4 500=\frac{[ツ]-p}{[テ]p}$である．
(8)$\displaystyle \int_{-1}^2 (-x^2+3 |x|) \, dx=\frac{[ト]}{[ナ]}$である．

方程式$4^x-2^{-x}=5(2^x-1)$を満たす$x$のうち最大のものを$a$，最小のものを$b$とする．このとき$2^a$の値は$[　]$で，$4^a+4^b$の値は$[　]$である．

実数$x$に対して，$x$を超えない最大整数を$[x]$で表すとする．例えば，$[2]=2$，$\displaystyle \left[ \frac{10}{3} \right]=3$である．次の$[　]$のうち，$[オ]$と$[カ]$には式を，その他には整数を記入せよ．

(1)$[-5.2]=[ア]$となる．

(2)$\displaystyle \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \right]=[イ]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}} \right]=[ウ]$，

$\displaystyle \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}} \right]=[エ]$となる．

(3)不等式
\[ \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2 \sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}} \]
の各辺を$k=2$から$k=n$まで，それぞれ加え合わせると，
\[ [オ]<\sum_{k=2}^n \frac{1}{\sqrt{k}}<[カ] \]
が得られる．ここで，$n$は$2$以上の整数とする．これにより，
\[ [キ] \times \sqrt{n}-[ク]-1<\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}}<[キ] \times \sqrt{n}-[ク] \]
となる．よって，
\[ \left[ \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}} \right]=[ケ] \]
である．
(4)同様にして，
\[ \left[ \frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{101}}+\frac{1}{\sqrt{102}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}} \right]=[コ] \]
となる．

曲線$y=e^{-x} \cos x$上の点$(a,\ e^{-a} \cos a)$における接線の方程式を$y=g(x)$とする．

(1)$g(x)$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle A=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx$と$\displaystyle B=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$を計算せよ．
(3)定積分$\displaystyle S=\int_0^{\frac{\pi}{2}} g(x) \sin x \, dx$を計算せよ．
(4)$a$が$0 \leqq a \leqq \pi$の範囲を動くとき，$(3)$の$S$を最大にする$a$の値を求めよ．