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国立 山梨大学 2014年 第2問実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，実数$k$に対し，$A^2-kA=(k-3)E$を満たすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．
(1)$b \neq 0$または$c \neq 0$のとき，$a+d$および$ad-bc$を$k$を用いた式で表せ．
(2)実数$k$が$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)$を満たすとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を定数として，$bc$が最大となるような$a,\ d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ．また，そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ．
(4)$k$を定数として，行列$A$は$bc$が最大となる行列とする．行列$A$で表される$1$次変換が，直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると，$A=E$となることを示せ．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，実数$k$に対し，$A^2-kA=(k-3)E$を満たすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．
(1)$b \neq 0$または$c \neq 0$のとき，$a+d$および$ad-bc$を$k$を用いた式で表せ．
(2)実数$k$が$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)$を満たすとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を定数として，$bc$が最大となるような$a,\ d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ．また，そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ．
(4)$k$を定数として，行列$A$は$bc$が最大となる行列とする．行列$A$で表される$1$次変換が，直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると，$A=E$となることを示せ．
国立 大分大学 2014年 第4問$100$から$999$までの自然数の集合を全体集合$U$とし，そのうち$14$で割ると$3$余るものの集合を$A$，$9$の倍数の集合を$B$とおく．
(1)$A,\ B$の要素の個数を求めなさい．
(2)$A \cap B$の要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)$U$の要素が$1$つずつ書かれた玉の入った袋から玉を$2$個取り出す．このとき，$2$個の玉に書かれている数がいずれも$14$で割ると$3$余り，かつ$9$で割り切れない場合の確率を求めなさい．
(1)$A,\ B$の要素の個数を求めなさい．
(2)$A \cap B$の要素のうち，最小のものと最大のものを求めなさい．
(3)$U$の要素が$1$つずつ書かれた玉の入った袋から玉を$2$個取り出す．このとき，$2$個の玉に書かれている数がいずれも$14$で割ると$3$余り，かつ$9$で割り切れない場合の確率を求めなさい．
国立 九州工業大学 2014年 第3問関数$s(t)$はつねに$s^\prime(t)>0$をみたし，$s(0)=0$とする．座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$は，時刻$t$の関数として$x=s(t)$，$\displaystyle y=\frac{1}{2} \{s(t)\}^2$で与えられ，点$\mathrm{P}$の速度$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$は
\[ |\overrightarrow{v}|=\frac{1}{\sqrt{1+\{s(t)\}^2}} \]
をみたすとする．また，$\displaystyle \alpha=s \left( -\frac{4}{3} \right)$，$\displaystyle \beta=s \left( \frac{4}{3} \right)$とおく．次に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(x)$が成り立つように関数$f(x)$を定めよ．
(2)$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_{-\frac{4}{3}}^0 \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$，$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_0^{\frac{4}{3}} \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$を用いて，$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=g(x)$が成り立つように関数$g(x)$を定めよ．また，$\alpha \leqq x \leqq \beta$のとき$g(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．
\[ |\overrightarrow{v}|=\frac{1}{\sqrt{1+\{s(t)\}^2}} \]
をみたすとする．また，$\displaystyle \alpha=s \left( -\frac{4}{3} \right)$，$\displaystyle \beta=s \left( \frac{4}{3} \right)$とおく．次に答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(x)$が成り立つように関数$f(x)$を定めよ．
(2)$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_{-\frac{4}{3}}^0 \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$，$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_0^{\frac{4}{3}} \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$を用いて，$\alpha$と$\beta$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=g(x)$が成り立つように関数$g(x)$を定めよ．また，$\alpha \leqq x \leqq \beta$のとき$g(x)$が最大となる$x$の値を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2014年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \left[ \frac{1}{3}x+1 \right]=[2x-1]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ここで，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+k \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} (k>0)$を満たす点$\mathrm{M}$が存在する．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BN}}$のとき，$k$はいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が，漸化式
\[ a_{n+1}+\left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1}=3a_1a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとき，以下の問に答えよ．
(i) $\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．
(ii) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$が収束するかどうか調べよ．収束する場合には，その和を求めよ．
(1)$\displaystyle \left[ \frac{1}{3}x+1 \right]=[2x-1]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ここで，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+k \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} (k>0)$を満たす点$\mathrm{M}$が存在する．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BN}}$のとき，$k$はいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が，漸化式
\[ a_{n+1}+\left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1}=3a_1a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとき，以下の問に答えよ．
(i) $\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．
(ii) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$が収束するかどうか調べよ．収束する場合には，その和を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第3問丸いピザを包丁で，まっすぐに切る．$1$回切るとどんな切り方をしてもピザは$2$片に分割される．$2$回だと$3$片か$4$片に分割される．このとき，$n$回切ったときの最大分割数を$a_n$とおく．例えば$a_1=2$，$a_2=4$，$a_3=7$である．次の問いに答えよ．
(1)$a_3 \geqq 7$，$a_4 \geqq 11$，$a_5 \geqq 16$であることを図により確かめよ．
(2)$n$回目に新しく切ったとき，その切り口はいくつかの線分に分かれる．その線分の数を$p_n$とおく．上手に切れば
\[ a_{n+1}=a_n+p_{n+1} \]
となる．このときの$p_{n+1}$を求めよ．
(3)$a_n$を求めよ．
(4)$100$片以上に分割するには最低何回切ればよいか．
(1)$a_3 \geqq 7$，$a_4 \geqq 11$，$a_5 \geqq 16$であることを図により確かめよ．
(2)$n$回目に新しく切ったとき，その切り口はいくつかの線分に分かれる．その線分の数を$p_n$とおく．上手に切れば
\[ a_{n+1}=a_n+p_{n+1} \]
となる．このときの$p_{n+1}$を求めよ．
(3)$a_n$を求めよ．
(4)$100$片以上に分割するには最低何回切ればよいか．
国立 群馬大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$3$次方程式$x^3-3x+1=0$は相異なる$3$つの実数解をもつことを示せ．
(2)$x^3-3x+1=0$の解で最小のものを$\alpha$，最大のものを$\beta$とする．このとき，次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_\alpha^\beta |x^2-1| \, dx \]
(1)$3$次方程式$x^3-3x+1=0$は相異なる$3$つの実数解をもつことを示せ．
(2)$x^3-3x+1=0$の解で最小のものを$\alpha$，最大のものを$\beta$とする．このとき，次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_\alpha^\beta |x^2-1| \, dx \]
国立 浜松医科大学 2014年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
国立 宇都宮大学 2014年 第1問$8$人の生徒$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h$に対して$3$つの部屋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の最大収容人数は$\mathrm{A}$が$3$人，$\mathrm{B}$が$4$人，$\mathrm{C}$が$5$人である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)生徒全員を一列に並べるとき，$c$と$d$が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(2)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$\mathrm{A}$の人数が$3$人になるような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(3)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$c$と$d$が$\mathrm{A}$に入るような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(4)生徒全員を$3$つの部屋に入れる入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(1)生徒全員を一列に並べるとき，$c$と$d$が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(2)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$\mathrm{A}$の人数が$3$人になるような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(3)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$c$と$d$が$\mathrm{A}$に入るような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(4)生徒全員を$3$つの部屋に入れる入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
国立 山口大学 2014年 第4問座標平面において，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，点$\mathrm{A}(1,\ 1)$がある．方程式$y=-ax+2a+2$が表す直線を$\ell$とするとき，次の問いに答えなさい．ただし，$a$は正の実数とする．
(1)直線$\ell$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{A}^\prime$とする．$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くときの$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を，$a$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を$f(a)$とするとき，$f(a)$を最大にするような$a$の値を求めなさい．
(1)直線$\ell$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{A}^\prime$とする．$\mathrm{A}^\prime$の座標を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くときの$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を，$a$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{OP}+\mathrm{PA}$の最小値を$f(a)$とするとき，$f(a)$を最大にするような$a$の値を求めなさい．
国立 東京海洋大学 2014年 第3問座標空間内の定点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$と$2$つの点$\mathrm{P}(p,\ p,\ 0)$，$\mathrm{Q}(q,\ -q,\ 0)$が$\displaystyle \angle \mathrm{PAQ}=\frac{\pi}{3}$をみたしている．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，以下において$\mathrm{O}$を座標空間の原点とする．このとき次の問に答えよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{APQ}$の面積は$p$と$q$の値によらず一定であることを示し，その面積を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OAPQ}$の体積が最大のとき，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標とこの四面体に内接する球の半径を求めよ．