$m>1$とし，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
(y-2mx)(y+2mx-3m^2) \leqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=x^2$と$y=-2mx+3m^2$の共有点を求めよ．
(2)領域$D$を図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-6mx$の最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=e^{-x}$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$t>0$として，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$(2)$で求めた$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

関数$f(x)=ax^2+bx+c$を用いて，関数$g(x)$が
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-ax^2+1 & \displaystyle\left( x<\frac{\sqrt{a}}{a} \right) \\
f(x) & \displaystyle\left( x \geqq \frac{\sqrt{a}}{a} \right) \phantom{\frac{[　]^{\mkakko{}}}{2}}
\end{array} \right. \]
で定義されている．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で，$a>0$とする．次の各問に答えなさい．

(1)関数$f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り，この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする．

(i) $b$を$a$の式で表しなさい．また，$c$の値を求めなさい．
(ii) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように，$a$の値を定めなさい．

(3)曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$，$(3,\ 0)$を通る．また，曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す．ただし，$a=1$，$0 \leqq t \leqq 2$とする．このとき，$S(t)$の導関数の値は正である．

(i) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい．
(ii) $S(t)$の最小値を求めなさい．
(iii) $S(t)$が最大値をとるとき，曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい．また，$S(t)$の最大値を求めなさい．

関数
\[ y=(\cos x-\sin x+1) \sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
を考える．次の問いに答えよ．

(1)$t=\cos x-\sin x$とおくとき，$t$がとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$y$を$t$を用いて表せ．
(3)$y$の最大値・最小値と，そのときの$t$の値をそれぞれ求めよ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．

(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$

(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．

(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$

(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(3,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$をとる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{X}$，$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Y}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$をできるだけ簡単な整数比で表せ．
(3)$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$を満たすような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が，$(3)$で求めた軌跡上を動くとき，$2x+y$の最大値および最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\sin 3\theta$を$\sin \theta$で表せ．
(2)$\cos 3\theta$を$\cos \theta$で表せ．
(3)関数$y=-8 \sin^3 \theta+6 \sin \theta-3 \cos \theta+4 \cos^3 \theta+1$の$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$における最大値と最小値を求めよ．

関数$f(x)=\cos^3 x \sin x$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲における$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲において，曲線$y=f(x)$と曲線$y=\sin 2x$で囲まれた部分の面積を求めよ．