「最大値」について
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国立 弘前大学 2015年 第3問側面の展開図が，半径$10$，中心角$x$の扇形である円錐を作る．この円錐の体積の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$0^\circ<x<{360}^\circ$とする．
国立 佐賀大学 2015年 第1問等差数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=\frac{1}{6},\quad \sum_{k=11}^{40}a_k=250 \]
を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 10$となる$n$の最大値$N$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた値$N$に対して，和$\displaystyle \sum_{k=1}^N a_k$を求めよ．
\[ a_1=\frac{1}{6},\quad \sum_{k=11}^{40}a_k=250 \]
を満たすとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_n \leqq 10$となる$n$の最大値$N$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた値$N$に対して，和$\displaystyle \sum_{k=1}^N a_k$を求めよ．
国立 佐賀大学 2015年 第3問$a$を定数とし，関数
\[ f(\theta)=\sin^3 \theta+a \cos 2\theta+\frac{21}{4} \sin \theta \]
は$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)=\frac{13}{4}$を満たすものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$t=\sin \theta$とおくとき，$f(\theta)$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(\theta)$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
\[ f(\theta)=\sin^3 \theta+a \cos 2\theta+\frac{21}{4} \sin \theta \]
は$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)=\frac{13}{4}$を満たすものとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)$t=\sin \theta$とおくとき，$f(\theta)$を$t$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$における$f(\theta)$の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$辺の長さが$1$の正三角形とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上を動くとき，次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] 内積の和$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．
\mon[（イ）] 内積 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と最小値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$の大きさを求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円上を動くとき，次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] 内積の和$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$の値を求めよ．
\mon[（イ）] 内積 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$の最大値と最小値を求めよ．
国立 東京農工大学 2015年 第3問関数$f(x)$を
\[ f(x)=e^{-x}x^2(x^2+ax+b) \]
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数を$f^{\prime}(x)$とする．$f(-1)=10e$，$f^\prime(1)=0$のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$を$(1)$で求めた値とする．このとき$x \geqq 0$における$f(x)$の最大値，最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることを用いてよい．
\[ f(x)=e^{-x}x^2(x^2+ax+b) \]
で定める．ただし，$a,\ b$は実数，$e$は自然対数の底とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の導関数を$f^{\prime}(x)$とする．$f(-1)=10e$，$f^\prime(1)=0$のとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$を$(1)$で求めた値とする．このとき$x \geqq 0$における$f(x)$の最大値，最小値を求め，そのときの$x$の値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることを用いてよい．
国立 群馬大学 2015年 第3問$a$を定数，$e$を自然対数の底とし，$\displaystyle f(x)=(a-x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$とおく．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$を示せ．
(2)関数$f(x)$が$-1<x<2$においてちょうど$2$個の極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$は$(2)$で定めた範囲にあるとする．区間$(-\infty,\ \infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$x>0$のとき，不等式$\displaystyle e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$が成り立つことを証明せよ．これを用いて$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=0$を示せ．
(2)関数$f(x)$が$-1<x<2$においてちょうど$2$個の極値をもつように，定数$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$は$(2)$で定めた範囲にあるとする．区間$(-\infty,\ \infty)$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第2問$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれている$n$個の球が，袋の中に入っている．この袋の中から$3$個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n \geqq 3$とする．
(1)$n=5$のとき，球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$を求めよ．
(3)球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率$q(n)$を求めよ．
(4)$p(n)$の最大値と，そのときの$n$の値を求めよ．
(1)$n=5$のとき，球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$を求めよ．
(3)球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率$q(n)$を求めよ．
(4)$p(n)$の最大値と，そのときの$n$の値を求めよ．
国立 福井大学 2015年 第1問$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれている$n$個の球が，袋の中に入っている．この袋の中から$3$個の球を同時に取り出す．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n \geqq 3$とする．
(1)$n=5$のとき，球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$を求めよ．
(3)球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率$q(n)$を求めよ．
(4)$p(n)$の最大値と，そのときの$n$の値を求めよ．
(1)$n=5$のとき，球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率を求めよ．
(2)球に書かれている$3$つの数のうち，$2$つだけが連続している確率$p(n)$を求めよ．
(3)球に書かれている$3$つの数のうち，どの$2$つも連続していない確率$q(n)$を求めよ．
(4)$p(n)$の最大値と，そのときの$n$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第5問関数$f(x)=|x+2 \sin (x+a)+b|$の$0 \leqq x \leqq 2\pi$での最大値と最小値の差は，定数$a,\ b$によらず常に$\pi$以上で，かつ$\displaystyle \left( \frac{4\pi}{3}+2 \sqrt{3} \right)$以下であることを示せ．
国立 岐阜大学 2015年 第3問$m>1$とし，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
(y-2mx)(y+2mx-3m^2) \leqq 0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．
(1)$y=x^2$と$y=-2mx+3m^2$の共有点を求めよ．
(2)領域$D$を図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-6mx$の最大値と最小値を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
(y-2mx)(y+2mx-3m^2) \leqq 0 \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．
(1)$y=x^2$と$y=-2mx+3m^2$の共有点を求めよ．
(2)領域$D$を図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$内を動くとき，$2y-6mx$の最大値と最小値を求めよ．