「最大値」について
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公立 京都府立大学 2016年 第3問$a$を$0$でない実数とする．$xy$平面上に$3$つの曲線$C_1:y=x^2+a^4$，$C_2:y=x^2$，$C_3:y=-x^2+2a^2x-2a^4+4a$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$C_1$に$1$本の接線を引き，$C_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の軌跡$C_4$の方程式を求めよ．
(2)$C_3$と$C_4$が$2$つの交点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たすとき，$C_3$と$C_4$で囲まれた部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とする．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)$C_1$に$1$本の接線を引き，$C_2$との交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線との交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{R}$の軌跡$C_4$の方程式を求めよ．
(2)$C_3$と$C_4$が$2$つの交点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たすとき，$C_3$と$C_4$で囲まれた部分の面積を$a$の関数と考えて$S(a)$とする．$S(a)$の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2016年 第1問関数$\displaystyle f(\theta)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin (\theta-x)| \, dx (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
(2)$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \pi \right)$を求めよ．
(3)$y=f(\theta)$のグラフをかき，その最大値と最小値を求めよ．
(1)$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)$を求めよ．
(2)$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \pi \right)$を求めよ．
(3)$y=f(\theta)$のグラフをかき，その最大値と最小値を求めよ．
公立 兵庫県立大学 2016年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} (1 \leqq x \leqq 8)$について，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=e$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$，$x$軸，および直線$x=e$とで囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
公立 釧路公立大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$x=1+\sqrt{2}$のとき，次の式の値を求めよ．
(i) $x^2-2x-1$
(ii) $x^4-4x^3+7x^2-6x+2$
(2)$A=\{ x \;|\; 2<x \leqq 9 \}$，$B=\{ x \;|\; k-4 \leqq x \leqq k+6 \}$（$k$は定数）とするとき，$A \subset B$となる$k$の値の範囲を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$(x+1)^2+(y-2)^2=2$を満たすとき，$x+y$の最小値と最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)$x=1+\sqrt{2}$のとき，次の式の値を求めよ．
(i) $x^2-2x-1$
(ii) $x^4-4x^3+7x^2-6x+2$
(2)$A=\{ x \;|\; 2<x \leqq 9 \}$，$B=\{ x \;|\; k-4 \leqq x \leqq k+6 \}$（$k$は定数）とするとき，$A \subset B$となる$k$の値の範囲を求めよ．
(3)実数$x,\ y$が$(x+1)^2+(y-2)^2=2$を満たすとき，$x+y$の最小値と最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
公立 高崎経済大学 2016年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式
\[ 2 \cos \theta+1 \geqq 0 \]
を解け．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数
\[ y=\sin x+\cos x \]
の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，不等式
\[ 2 \cos \theta+1 \geqq 0 \]
を解け．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数
\[ y=\sin x+\cos x \]
の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
公立 高崎経済大学 2016年 第4問関数$f(x)=x^3-12x$について，次の各問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(4)$x \geqq 0$の表す領域において，曲線$y=f(x)$，$y$軸，および$(3)$で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq 5$の範囲で，$f(x)$の最大値とそのときの$x$の値，および最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ f(1))$における曲線の接線の方程式を求めよ．
(4)$x \geqq 0$の表す領域において，曲線$y=f(x)$，$y$軸，および$(3)$で求めた接線で囲まれた部分の面積を求めよ．
問題集 センター試験 2015年 第1問$2$次関数
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．
(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．
(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．
\[ y=-x^2+2x+2 \cdots\cdots① \]
のグラフの頂点の座標は$([ア],\ [イ])$である．また
\[ y=f(x) \]
は$x$の$2$次関数で，そのグラフは，$①$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$q$だけ平行移動したものであるとする．
(1)下の$[ウ],\ [オ]$には，次の$\nagamarurei$～$\nagamarushi$のうちから当てはまるものを一つずつ選べ．ただし，同じものを繰り返し選んでもよい．
\[ \nagamarurei > \qquad \nagamaruichi < \qquad \nagamaruni \geqq \qquad \nagamarusan \leqq \qquad \nagamarushi \neq \]
$2 \leqq x \leqq 4$における$f(x)$の最大値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [ウ] [エ] \]
であり，最小値が$f(2)$になるような$p$の値の範囲は
\[ p [オ] [カ] \]
である．
(2)$2$次不等式$f(x)>0$の解が$-2<x<3$になるのは
\[ p=\frac{[キク]}{[ケ]},\quad q=\frac{[コサ]}{[シ]} \]
のときである．
国立 京都大学 2015年 第4問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$の中点とし，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{AC}$上を動くとする．このとき，$\cos \angle \mathrm{PDQ}$の最大値を求めよ．
国立 大阪大学 2015年 第4問座標空間の$x$軸上に動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は時刻$0$において，原点を出発する．$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に，$\mathrm{Q}$は$x$軸の負の方向に，ともに速さ$1$で動く．その後，ともに時刻$1$で停止する．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を中心とする半径$1$の球をそれぞれ$A,\ B$とし，空間で$x \geqq -1$の部分を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)時刻$t (0 \leqq t \leqq 1)$における立体$(A \cup B) \cap C$の体積$V(t)$を求めよ．
(2)$V(t)$の最大値を求めよ．
(1)時刻$t (0 \leqq t \leqq 1)$における立体$(A \cup B) \cap C$の体積$V(t)$を求めよ．
(2)$V(t)$の最大値を求めよ．
国立 一橋大学 2015年 第4問$xyz$空間において，原点を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上を点$\mathrm{P}$が動き，点$(0,\ 0,\ \sqrt{3})$を中心とする$xz$平面上の半径$1$の円周上を点$\mathrm{Q}$が動く．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と，そのときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．