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公立 和歌山県立医科大学 2015年 第4問あるバクテリアをある条件の下で培養した場合，生存している$1$個が，$1$時間後には$1$回分裂して$2$個ともに生存しているか，あるいは死滅しているかであり，$2$個とも生存している確率が$p$，死滅している確率が$1-p$であるという．このバクテリアがこの条件の下で最初$1$個生存していたとき，$n$時間後に$1$個以上生存している確率を$P_n$とおく．ただし，$n$は自然数とする．
(1)$P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ．
(2)$P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(4)$a$を$2$より大きな実数とする．$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$，$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき，$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ．
(5)$p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(1)$P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ．
(2)$P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(4)$a$を$2$より大きな実数とする．$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$，$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき，$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ．
(5)$p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
公立 北九州市立大学 2015年 第1問自然数の列を区切って，次のように群に分ける．第$1$群に入る項の個数は$1$個である．また，第$n+1$群に入る項の個数は第$n$群の最後の項と同じ数とする．ただし，$n$は自然数である．また，群に入る項が$1$個の場合は，その数が最初の項でありかつ最後の項であるとする．
\[ |\ 1 \ |\ 2 \ |\ 3,\ 4 \ |\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \ |\ 9,\cdots \]
第$n$群の最後の項を$b_n$とおき，第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく．以下の問題に答えよ．
(1)項$b_3,\ b_4,\ b_5$を求めよ．また，項$b_n$を$n$を用いて表せ．
(2)項数$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ．
(4)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ．
(5)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ．
\[ |\ 1 \ |\ 2 \ |\ 3,\ 4 \ |\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \ |\ 9,\cdots \]
第$n$群の最後の項を$b_n$とおき，第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく．以下の問題に答えよ．
(1)項$b_3,\ b_4,\ b_5$を求めよ．また，項$b_n$を$n$を用いて表せ．
(2)項数$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ．
(4)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ．
(5)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ．
公立 大阪府立大学 2015年 第5問座標平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C_0$に，半径$1$の円$C_1$が外接しながらすべることなく回転する．点$\mathrm{A}$を動く円$C_1$の中心とし，点$\mathrm{P}$を円$C_1$の円周上の定点とする．最初，点$\mathrm{A}$は座標$(2,\ 0)$の位置にあり，点$\mathrm{P}$は座標$(1,\ 0)$の位置にある．円$C_1$が円$C_0$の周りを反時計まわりに一周し，点$\mathrm{A}$が座標$(2,\ 0)$に戻ってくるとき，点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする．動径$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の部分から角$\theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$だけ回転した位置にあるとき，点$\mathrm{P}$の座標を$(x(\theta),\ y(\theta))$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について，
\[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \]
が成り立つことを示せ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め，$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ．ただし，凹凸については言及しなくてよい．
(3)曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標$(x(\theta),\ y(\theta))$について，
\[ x(\theta)=2 \cos \theta-\cos 2\theta,\quad y(\theta)=2 \sin \theta-\sin 2\theta \]
が成り立つことを示せ．
(2)導関数$\displaystyle \frac{d}{d\theta} x(\theta)$を求め，$x(\theta)$の$\theta$に関する増減表を作成せよ．ただし，凹凸については言及しなくてよい．
(3)曲線$C$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．
国立 金沢大学 2014年 第4問自然数が$1$つずつ書かれている玉が，
\[ ① ① ② ① ② ③ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ⑤ ① ② \cdots\cdots \]
のように$1$列に並べられている．次の問いに答えよ．
(1)数$100$が書かれた玉が最初に現れるのは何番目か．
(2)自然数$n$に対し，$2n^2$番目の玉に書かれている数は何か．
(3)$1$番目から$2n^2$番目までの玉をすべて袋に入れた．この袋から$2$つの玉を取り出すとき，同じ数が書かれた玉を取り出す確率を求めよ．
\[ ① ① ② ① ② ③ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ⑤ ① ② \cdots\cdots \]
のように$1$列に並べられている．次の問いに答えよ．
(1)数$100$が書かれた玉が最初に現れるのは何番目か．
(2)自然数$n$に対し，$2n^2$番目の玉に書かれている数は何か．
(3)$1$番目から$2n^2$番目までの玉をすべて袋に入れた．この袋から$2$つの玉を取り出すとき，同じ数が書かれた玉を取り出す確率を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第3問$3$個の玉が横に一列に並んでいる．コインを$1$回投げて，それが表であれば，そのときに中央にある玉とその左にある玉とを入れ替える．また，それが裏であれば，そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える．この操作を繰り返す．
(1)最初に中央にあったものが$n$回後に中央にある確率を求めよ．
(2)最初に右端にあったものが$n$回後に右端にある確率を求めよ．
(1)最初に中央にあったものが$n$回後に中央にある確率を求めよ．
(2)最初に右端にあったものが$n$回後に右端にある確率を求めよ．
国立 埼玉大学 2014年 第2問$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
国立 東京工業大学 2014年 第3問$1$個のさいころを投げて，出た目が$1$か$2$であれば行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$を，出た目が$3$か$4$であれば行列$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を，出た目が$5$か$6$であれば行列$C=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を選ぶ．そして，選んだ行列の表す$1$次変換によって$xy$平面上の点$\mathrm{R}$を移すという操作を行う．点$\mathrm{R}$は最初は点$(0,\ 1)$にあるものとし，さいころを投げて点$\mathrm{R}$を移す操作を$n$回続けて行ったときに点$\mathrm{R}$が点$(0,\ 1)$にある確率を$p_n$，点$(0,\ -1)$にある確率を$q_n$とする．
(1)$p_1,\ p_2$と$q_1$，$q_2$を求めよ．
(2)$p_n+q_n$と$p_{n-1}+q_{n-1}$の関係式を求めよ．また，$p_n-q_n$と$p_{n-1}-q_{n-1}$の関係式を求めよ．
(3)$p_n$を$n$を用いて表せ．
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array} \right)$を，出た目が$3$か$4$であれば行列$B=\left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$を，出た目が$5$か$6$であれば行列$C=\left( \begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を選ぶ．そして，選んだ行列の表す$1$次変換によって$xy$平面上の点$\mathrm{R}$を移すという操作を行う．点$\mathrm{R}$は最初は点$(0,\ 1)$にあるものとし，さいころを投げて点$\mathrm{R}$を移す操作を$n$回続けて行ったときに点$\mathrm{R}$が点$(0,\ 1)$にある確率を$p_n$，点$(0,\ -1)$にある確率を$q_n$とする．
(1)$p_1,\ p_2$と$q_1$，$q_2$を求めよ．
(2)$p_n+q_n$と$p_{n-1}+q_{n-1}$の関係式を求めよ．また，$p_n-q_n$と$p_{n-1}-q_{n-1}$の関係式を求めよ．
(3)$p_n$を$n$を用いて表せ．
国立 埼玉大学 2014年 第2問$xy$平面の格子点上に駒「銀」が$1$枚ある．ただし，格子点とは$x$座標と$y$座標がともに整数となる点である．$1$回の操作で，次の$(\mathrm{a})$，$(\mathrm{b})$，$(\mathrm{c})$，$(\mathrm{d})$，$(\mathrm{e})$のいずれか$1$つを等しい確率で選び，駒「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
$(\mathrm{a})$ $(x,\ y)$から$(x,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{b})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{c})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y+1)$に移動させる．
$(\mathrm{d})$ $(x,\ y)$から$(x-1,\ y-1)$に移動させる．
$(\mathrm{e})$ $(x,\ y)$から$(x+1,\ y-1)$に移動させる．
最初に駒「銀」は原点$(0,\ 0)$にあるものとし，以下の問いに答えよ．
(1)$3$回の操作の後，駒が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．
(2)$n$回の操作の後，駒がある点の$y$座標は$n-1$とならないことを示せ．
(3)$n$回の操作の後，駒が$(n-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
（図は省略）
国立 信州大学 2014年 第1問$3$個の玉が横に一列に並んでいる．コインを$1$回投げて，それが表であれば，そのときに中央にある玉とその左にある玉とを入れ替える．また，それが裏であれば，そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える．この操作を繰り返す．
(1)最初に中央にあったものが$n$回後に中央にある確率を求めよ．
(2)最初に右端にあったものが$n$回後に右端にある確率を求めよ．
(1)最初に中央にあったものが$n$回後に中央にある確率を求めよ．
(2)最初に右端にあったものが$n$回後に右端にある確率を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第2問$3$個の玉が横に一列に並んでいる．コインを$1$回投げて，それが表であれば，そのときに中央にある玉とその左にある玉とを入れ替える．また，それが裏であれば，そのときに中央にある玉とその右にある玉とを入れ替える．この操作を繰り返す．
(1)最初に中央にあったものが$n$回後に中央にある確率を求めよ．
(2)最初に右端にあったものが$n$回後に右端にある確率を求めよ．
(1)最初に中央にあったものが$n$回後に中央にある確率を求めよ．
(2)最初に右端にあったものが$n$回後に右端にある確率を求めよ．