「曲線」について
タグ「曲線」の検索結果
（29ページ目：全1320問中281問～290問を表示）
国立 愛知教育大学 2015年 第3問$xy$平面上の曲線$C_1:y=x^2$を考える．$C_1$上に異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{B}$における$C_1$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a<b$とする．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が，$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする．このとき，$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき，$(2)$で求めた内積を$s$で表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
$*$ \ $(2)$～$(4)$については，必答範囲外からの出題のため，技術・情報科学の受験者全員に対し，正解とする．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$が，$xy$平面上の曲線$C_2:y=x^2-x (0<x<1)$上にあるとする．このとき，$(1)$で求めた点$\mathrm{P}$の$x$座標を$s$とおき，$(2)$で求めた内積を$s$で表せ．
(4)内積$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$を最大にする$C_2$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
$*$ \ $(2)$～$(4)$については，必答範囲外からの出題のため，技術・情報科学の受験者全員に対し，正解とする．
国立 岩手大学 2015年 第5問$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x$，$g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1$，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b$は定数である．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第5問$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x$，$g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1$，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b$は定数である．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 大阪教育大学 2015年 第3問$a,\ b$は$0<a<b$を満たす定数とし，関数$y=\log x$のグラフを$G$とする．点$\mathrm{C}$が曲線$G$上を点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$から点$\mathrm{B}(b,\ \log b)$まで動くとき，点$\mathrm{C}$から$x$軸への垂線と線分$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{CP}$の長さの最大値を$L$とする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$\log x$は自然対数を表すものとする．
(1)不等式$\displaystyle a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle h=\frac{b}{a}$とおくとき，$L$を$h$を用いて表せ．
(3)実数$p,\ q,\ r$が$a<p<b$，$a<q<b$，$a<r<b$を満たすとき，不等式
\[ \frac{p+q+r}{3}<e^L \sqrt[3]{pqr} \]
が成り立つことを証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)不等式$\displaystyle a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b$が成り立つことを証明せよ．
(2)$\displaystyle h=\frac{b}{a}$とおくとき，$L$を$h$を用いて表せ．
(3)実数$p,\ q,\ r$が$a<p<b$，$a<q<b$，$a<r<b$を満たすとき，不等式
\[ \frac{p+q+r}{3}<e^L \sqrt[3]{pqr} \]
が成り立つことを証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
国立 山形大学 2015年 第1問二つの放物線
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．
国立 山形大学 2015年 第4問曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(1,\ e)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$b$を求めよ．
(2)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)$b$を求めよ．
(2)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第4問曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^a)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．ただし，$a>1$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^b}^{e^a} (\log y)^2 \, dy$を$a$を用いて表せ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{ae^a}$と$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{aS}$を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^b}^{e^a} (\log y)^2 \, dy$を$a$を用いて表せ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{ae^a}$と$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{aS}$を求めよ．
国立 島根大学 2015年 第1問$t$を$0<t<1$をみたす実数とする．$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$y=x^2$の点$\mathrm{R}$における接線であることを示せ．
(3)$t$が条件$0<t<1$をみたしながら変化するとき，直線$\ell$が通過する領域を図示せよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$y=x^2$の点$\mathrm{R}$における接線であることを示せ．
(3)$t$が条件$0<t<1$をみたしながら変化するとき，直線$\ell$が通過する領域を図示せよ．
国立 島根大学 2015年 第3問$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．
国立 島根大学 2015年 第4問$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．
(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．