「曲線」について
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国立 東京学芸大学 2015年 第2問$n$を$2$以上の整数とする．曲線$\displaystyle y=\sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$，直線$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$および$x$軸で囲まれる部分の面積を$n-1$本の曲線$y=a_k \cos x (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1)$によって$n$等分するとき，下の問いに答えよ．ただし，$0<a_1<a_2<\cdots<a_{n-1}$とする．
(1)$n=2$のとき，$a_1$の値を求めよ．
(2)$a_k$を$n$と$k$で表せ．
(1)$n=2$のとき，$a_1$の値を求めよ．
(2)$a_k$を$n$と$k$で表せ．
国立 東京学芸大学 2015年 第3問$a$は$0<a<1$を満たす実数とする．$2$つの曲線$y=a^x$，$y=\log_a x$が直線$y=x$上に共有点をもち，その共有点において共通の接線をもつとする．そのときの$a$の値および共通の接線の方程式を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2015年 第1問$a$を定数とする．$x>0$における関数
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．
(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．
(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 山梨大学 2015年 第5問点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(-6,\ 0)$をとる．また，曲線
\[ x=3 \cos \theta,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
を$C_1$とする．曲線$C_2,\ C_3,\ \cdots,\ C_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする．」
また， 各自然数$n$に対して，点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき，その接点を$\mathrm{A}_n$とする．次に，$\theta$を$1$つ固定し，点$\mathrm{X}_1(x_1,\ y_1)$を$x_1=3 \cos \theta$，$y_1=3 \sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし，点$\mathrm{X}_2,\ \mathrm{X}_3,\ \cdots,\ \mathrm{X}_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「線分$\mathrm{PX}_n$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{X}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．」
(1)$x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{PO}$および$\angle \mathrm{A}_2 \mathrm{PO}$を求めよ．
(3)$x_n,\ y_n$を$\theta$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(5)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}$，曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき，極限値$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
\[ x=3 \cos \theta,\quad y=3 \sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
を$C_1$とする．曲線$C_2,\ C_3,\ \cdots,\ C_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「点$\mathrm{Q}$が曲線$C_n$上を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{R}$のなす曲線を$C_{n+1}$とする．」
また， 各自然数$n$に対して，点$\mathrm{P}$を通る$x$軸と異なる直線が曲線$C_n$と接するとき，その接点を$\mathrm{A}_n$とする．次に，$\theta$を$1$つ固定し，点$\mathrm{X}_1(x_1,\ y_1)$を$x_1=3 \cos \theta$，$y_1=3 \sin \theta$となる曲線$C_1$上の点とし，点$\mathrm{X}_2,\ \mathrm{X}_3,\ \cdots,\ \mathrm{X}_n,\ \cdots$を次のように順次定義する．
「線分$\mathrm{PX}_n$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{X}_{n+1}(x_{n+1},\ y_{n+1})$とする．」
(1)$x_2$および$y_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{A}_1 \mathrm{PO}$および$\angle \mathrm{A}_2 \mathrm{PO}$を求めよ．
(3)$x_n,\ y_n$を$\theta$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n$を求めよ．
(5)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}$，曲線$C_n$および$C_{n+1}$で囲まれた領域の面積を$a_n$とするとき，極限値$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．
国立 茨城大学 2015年 第1問$f(x)=2xe^{-x}$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．以下の各問に答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数$a$に対して，$\displaystyle I_a=\int_0^1 xe^{-ax} \, dx$，$\displaystyle J_a=\int_0^1 x^2e^{-ax} \, dx$とおく．$J_a$を$I_a$と$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と，$3$直線$x=0$，$x=1$および$y=t$で囲まれた図形を，直線$y=t$を軸として$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．$t$を動かしたとき，$V(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq 3$の範囲で，関数$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)正の実数$a$に対して，$\displaystyle I_a=\int_0^1 xe^{-ax} \, dx$，$\displaystyle J_a=\int_0^1 x^2e^{-ax} \, dx$とおく．$J_a$を$I_a$と$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$および$\displaystyle \int_0^1 \{f(x)\}^2 \, dx$を求めよ．
(4)曲線$y=f(x)$と，$3$直線$x=0$，$x=1$および$y=t$で囲まれた図形を，直線$y=t$を軸として$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．$t$を動かしたとき，$V(t)$の最小値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)=e^{\sqrt{x}-1}-\sqrt{x} (x \geqq 0)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x) \geqq 0$を示せ．また等号が成立するような$x$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第3問関数$f(x)={|x-2|}^3-3x^2+12x$がある．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
(1)$f(x)$の増減を調べ，グラフの概形を描け．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$の共有点の$x$座標を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=12$で囲まれた図形の面積を求めよ．
[補足説明] \ 必要ならば，自然数$n$に対して
\[ \int x^n \, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad (C \text{は積分定数}) \]
となることを用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第4問正の実数$a$に対し，$y=a \log x (x>0)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$(2,\ a \log 2)$における接線を$\ell$とするとき，$\ell$と$x$軸とのなす角が${30}^\circ$であった．以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式，および$\ell$と$x$軸との交点を求めよ．
(3)$\ell$と$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式，および$\ell$と$x$軸との交点を求めよ．
(3)$\ell$と$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．