次の問いに答えよ．

(1)複素数平面において，$\alpha=3+i$，$\beta=5-3i$とする．点$\beta$を，点$\alpha$を中心として$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$だけ回転した点を表す複素数$\gamma$を求めよ．
(2)点$(0,\ 1)$から曲線$3x^2-2y^2=-6$に引いた接線の方程式を求めよ．

関数$f(x)=x-\log x (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(e,\ f(e))$における接線を$\ell$とする．

(i) $\ell$の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$y=f(x)$，接線$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)曲線$y=f(x)$，曲線$y=\log x$，直線$x=1$および直線$x=e$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

関数$y=e^{-x}$で表される曲線を$C$とする．また，$t$は$0<t<2$をみたす実数とし，$x=t$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$y$軸，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸，直線$x=3$，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S_1(t)+S_2(t)$の最小値を求めよ．

曲線$y=e^{-x}$を$C$とし，$n$を自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[イ]$である．
(2)一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき，この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{Q}_n$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$のように点をとる．このとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$[ロ]$である．
(3)曲線$C$，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n=[ハ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=[ニ]$である．

関数$f(x)=\sqrt{3} \sin x-\cos x$および$g(x)=\sin x+\sqrt{3} \cos x$がある．以下の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$のグラフをかけ．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$の交点の座標を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲において，$2$つの曲線$\displaystyle y=\frac{g(x)}{f(x)}$と$\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$，および$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
$xy$平面上の曲線$y=x^2 (-3 \leqq x \leqq 3)$を$y$軸のまわりに回転させて容器をつくり，この容器を水でいっぱいに満たした．$xy$平面に垂直に図のように$z$軸をとった後，高さ$y=1$にある容器上の$1$点が$xz$平面に接するまで容器を静かに傾けた．ただし，傾ける際に容器は常に$xz$平面に接するものとする．表面張力および容器の厚みを考えないとして，以下の問いに答えよ．

(1)容器を傾ける前の容器内の水の量を求めよ．
(2)容器を傾けた後の容器に残っている水の量を求めよ．

\end{mawarikomi}

$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$において，曲線$y=a \sin x$（$a$は定数）を$C_1$，曲線$y=\tan x$を$C_2$とする．$a>1$であるとき，$2$つの曲線$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$2$次関数$y=-x^2+2x+4 (-2 \leqq x \leqq 3)$の表す曲線において，$x=-2$，$x=3$での端点をそれぞれ，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{C}$をこの曲線上の点とする．次の問いに答えよ．

(1)この関数のグラフをかけ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が$15$となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$の二等辺三角形となるとき，点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

関数$f(x)=x^4-2x^2+x$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$2$点で接する直線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$(1)$で求めた直線で囲まれた領域の面積を求めよ．

曲線$y=e^{-x^2}$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．