曲線$y=\sin x \cos^3 x+x$上の$2$点$(0,\ 0)$，$\displaystyle \left( \frac{5}{4} \pi,\ \frac{5 \pi+1}{4} \right)$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は，


$\ell_1:y=[ア]x,$

$\displaystyle \ell_2:y=\frac{1}{[イ]}x+\frac{1}{[ウ]}+\frac{[エ]}{[オ]} \pi$


であり，$\ell_1$と$\ell_2$の交点の座標は，
\[ \left( \frac{[カ] \pi+[キ]}{[クケ]},\ \frac{[コ] \pi+[サ]}{[シ]} \right) \]
である．

$f(x)=(x-1) \sqrt{-x^2+4x-3} (1 \leqq x \leqq 3)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と，$2$直線$x=1$，$\displaystyle y=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=2 \cos^3 x+3 \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の増減表を書き，変曲点を求めよ．
(2)曲線$C$と$x$軸，$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極大値$1$をとり，$x=1$で極小値$0$をとる．

(1)$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$は$f^\prime(x)=ax(x-[ア])$（$a$は定数）と表せる．

(2)$(1)$より$\displaystyle f(x)=\frac{[イ]}{[ウ]}ax^3-\frac{[エ]}{[オ]}ax^2+b$（$b$は定数）と表せる．

(3)$(2)$と$f(x)$の極大値と極小値に関する条件から，$a=[カ]$，$b=[キ]$となる．よって，$f(x)=[ク]x^3-[ケ]x^2+[コ]$である．

(4)曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の$x$座標は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[ス]}$，$[セ]$である．

(5)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チツ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)不等式$x^2-x-5<|2x-1|$を解け．
(2)和が$22$，最小公倍数が$60$となる$2$つの自然数を求めよ．
(3)関数$y=4 \sin^2 x-4 \cos x-3 (0 \leqq x \leqq \pi)$の最大値を求めよ．またそのときの$x$の値を求めよ．
(4)曲線$y=e^x$上の点$(t,\ e^t)$と直線$y=2x$の距離を$d(t)$とする．$d(t)$の最小値を求めよ．
(5)不定積分$\displaystyle \int \log 2x \, dx$を計算せよ．ただし積分定数は$C$とすること．

$a$を正の実数とする．関数$f(x)=e^{a(x+1)}-ax$とする．次の各問に答えよ．

(1)$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)原点から曲線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ．
(3)この曲線と$y$軸，及び$(2)$で求めた接線によって囲まれた部分の面積$S(a)$を求めよ．
(4)$S(a)$の最小値を求めよ．

$0<r<1$を満たす実数$r$に対して，第$1$象限内の曲線$C:x^r+y^r=1$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$をとり，$\ell$を点$\mathrm{P}$における$C$の接線とし，$\ell$が$x$軸および$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を曲線$C$上のどこにとっても線分$\mathrm{AB}$の長さが同じになるような$r$の値を求めよ．

曲線$y=\log x$を$C$で表す．$1<p<e$をみたす実数$p$に対し，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ \log p)$における接線を$\ell$とし，$\ell$の方程式を$y=ax+b$とする．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$a$を$p$の式で表しなさい．
(2)$b$を$p$の式で表しなさい．
(3)$x$軸と直線$\ell$および曲線$C$で囲まれた図形$D_1$の面積を$p$の式で表しなさい．
(4)$x$軸と$y$軸および直線$\ell$で囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$の面積と$D_2$の面積が等しいとき，$p$の値を求めなさい．

$a$と$b$は$a^2>b$をみたす実数であるとする．座標平面において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$から曲線$y=x^2$に引いた$2$つの接線の接点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(3)直線$y=2x-3$を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$が$\ell$上を動くとき，$(2)$の$S$の最小値を求めなさい．