「曲線」について
タグ「曲線」の検索結果
(13ページ目:全1320問中121問~130問を表示)![日本女子大学](./img/univ/nihonjoshi.png)
曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\theta$とする.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.この曲線上の点$\mathrm{P}$における法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とおき,点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ.
![学習院大学](./img/univ/gakushuin.png)
平面上で,曲線$\displaystyle C:y=\frac{2}{x^2+1}$を考える.
(1)$C$は変曲点を$2$つもつ.その$2$点の座標を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を,それぞれ$L_1,\ L_2$とする.$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)$C$は変曲点を$2$つもつ.その$2$点の座標を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を,それぞれ$L_1,\ L_2$とする.$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ.
![学習院大学](./img/univ/gakushuin.png)
曲線$C:y=x^3-x$上に,原点とは異なる点$\mathrm{P}$がある.$\mathrm{P}$での$C$の接線を$\ell$とし,$\ell$と$C$の交点で$\mathrm{P}$以外のものを$\mathrm{Q}$とする.さらに,原点を通り$\ell$に平行な直線を$m$とする.
(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ.
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ.
(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ.
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$,$\mathrm{S}$とするとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ.
![久留米大学](./img/univ/kurume.png)
座標平面上で,関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える.$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して,曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$,$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする.
(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる.
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり,$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる.
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする.極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる.ただし,$n$は正の整数とする.
(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる.
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり,$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる.
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする.極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる.ただし,$n$は正の整数とする.
![星薬科大学](./img/univ/hoshiyakka.png)
$x$の$3$次式$f(x)$が等式
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき,次の問に答えよ.
(1)このとき,$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である.
(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき,$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり,この$\ell$は,点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる.
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である.
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき,次の問に答えよ.
(1)このとき,$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である.
(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき,$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり,この$\ell$は,点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる.
(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である.
![名城大学](./img/univ/meijou.png)
$f(x)=e^{-x} \sin x,\ g(x)=e^{-x} \cos x$とするとき,次の各問に答えよ.
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)すべての$x$について,$f^\prime(x)=af(x+b)$が成り立つような定数$a,\ b$を求めよ.ただし,$0 \leqq b \leqq \pi$とする.
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{4}$において,曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ.
(2)すべての$x$について,$f^\prime(x)=af(x+b)$が成り立つような定数$a,\ b$を求めよ.ただし,$0 \leqq b \leqq \pi$とする.
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{4}$において,曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
実数$c$を$\displaystyle c<\frac{3}{2}$とし,$f(x)=(x-4)(x^2-3x-c^2+3c)$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$3$点で交わり,それら$3$つの交点の$x$座標がすべて正となるときの$c$の値の範囲を求めよ.
(2)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等差数列となるときの$c$の値を求めよ.また,このときの交点の$x$座標をすべて求めよ.
(3)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等比数列となるときの$c$の値を求めよ.また,このときの交点の$x$座標をすべて求めよ.
(4)$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし,$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_2$とする.曲線$C_1,\ C_2$と,$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$3$点で交わり,それら$3$つの交点の$x$座標がすべて正となるときの$c$の値の範囲を求めよ.
(2)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等差数列となるときの$c$の値を求めよ.また,このときの交点の$x$座標をすべて求めよ.
(3)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等比数列となるときの$c$の値を求めよ.また,このときの交点の$x$座標をすべて求めよ.
(4)$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし,$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_2$とする.曲線$C_1,\ C_2$と,$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
$p,\ q,\ r$を有理数とし,$f(x)=x^3+3px^2+qx+r$とする.曲線$y=f(x)$は点$(t,\ 0)$で$x$軸に接している.
(1)$f(x)=f^\prime(x)(Ax+B)+Cx+D$をみたす定数$A,\ B,\ C,\ D$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ.
(2)$t$は有理数であることを示せ.
(1)$f(x)=f^\prime(x)(Ax+B)+Cx+D$をみたす定数$A,\ B,\ C,\ D$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ.
(2)$t$は有理数であることを示せ.
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
$a,\ b,\ c$は定数とする.関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x=2$で極値をとり,曲線$y=f(x)$は点$(1,\ 0)$で直線$y=x-1$に接している.
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ.
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x-1$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ.
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x-1$で囲まれた図形の面積を求めよ.
![津田塾大学](./img/univ/tsudajuku.png)
\begin{mawarikomi}{68mm}{
(図は省略)
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある.点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ,すべらずに転がっている.円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.
(図は省略)
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある.点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ,すべらずに転がっている.円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする.
ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し,同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた.その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする.円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする.
\end{mawarikomi}
(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ.