曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\theta$とする．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．この曲線上の点$\mathrm{P}$における法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とおき，点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とする．このとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ．

平面上で，曲線$\displaystyle C:y=\frac{2}{x^2+1}$を考える．

(1)$C$は変曲点を$2$つもつ．その$2$点の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$2$点での$C$の接線を，それぞれ$L_1,\ L_2$とする．$2$直線$L_1,\ L_2$と$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^3-x$上に，原点とは異なる点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$での$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$と$C$の交点で$\mathrm{P}$以外のものを$\mathrm{Q}$とする．さらに，原点を通り$\ell$に平行な直線を$m$とする．

(1)$m$と$C$は相異なる$3$点で交わることを示せ．
(2)$m$と$C$の原点以外の交点を$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{RS}}$を求めよ．

座標平面上で，関数$f(x)=\sqrt{6-x}$で表される曲線$C:y=f(x)$を考える．$4 \leqq t \leqq 5$を満たす実数$t$に対して，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$と$(t,\ 0)$，$(2,\ 0)$および$(2,\ f(t))$の$4$つの点を頂点とする四角形の面積を$S(t)$とする．

(1)$S(t)$を$t$を用いて表すと$[$9$]$となる．
(2)$S(t)$は$t=[$10$]$のとき最大値$[$11$]$をとり，$t=[$12$]$のとき最小値$[$13$]$をとる．
(3)区間$[4,\ 5]$を$n$等分してその端点と分点を小さい順に$t_0=4,\ t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n=5$とする．極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n S(t_k)$の値を求めると$[$14$]$となる．ただし，$n$は正の整数とする．

$x$の$3$次式$f(x)$が等式
\[ 4f(x)-xf^\prime(x)=3x^3-4x^2-6x+4 \]
を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)このとき，$f(x)=[$37$]x^3-[$38$]x^2-[$39$]x+[$40$]$である．

(2)曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(0,\ [$40$])$で$C$と接する接線を$\ell$とするとき，$\ell$の方程式は$y=-[$41$]x+[$42$]$であり，この$\ell$は，点$(0,\ [$40$])$以外の$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{[$43$]}{[$44$]},\ -\frac{[$45$]}{[$46$]} \right)$において$C$と交わる．

(3)$C$と$\ell$とで囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$47$]}{[$48$][$49$]}$である．

$f(x)=e^{-x} \sin x,\ g(x)=e^{-x} \cos x$とするとき，次の各問に答えよ．

(1)導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$について，$f^\prime(x)=af(x+b)$が成り立つような定数$a,\ b$を求めよ．ただし，$0 \leqq b \leqq \pi$とする．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{4}$において，曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

実数$c$を$\displaystyle c<\frac{3}{2}$とし，$f(x)=(x-4)(x^2-3x-c^2+3c)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$x$軸が異なる$3$点で交わり，それら$3$つの交点の$x$座標がすべて正となるときの$c$の値の範囲を求めよ．
(2)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等差数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(3)$(1)$の$3$つの交点の$x$座標を小さい順に並べると等比数列となるときの$c$の値を求めよ．また，このときの交点の$x$座標をすべて求めよ．
(4)$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，$(2)$の場合の曲線$y=f(x)$を$C_2$とする．曲線$C_1,\ C_2$と，$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

$p,\ q,\ r$を有理数とし，$f(x)=x^3+3px^2+qx+r$とする．曲線$y=f(x)$は点$(t,\ 0)$で$x$軸に接している．

(1)$f(x)=f^\prime(x)(Ax+B)+Cx+D$をみたす定数$A,\ B,\ C,\ D$を$p,\ q,\ r$を用いて表せ．
(2)$t$は有理数であることを示せ．

$a,\ b,\ c$は定数とする．関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x=2$で極値をとり，曲線$y=f(x)$は点$(1,\ 0)$で直線$y=x-1$に接している．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x-1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

\begin{mawarikomi}{68mm}{
（図は省略）
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある．点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ，すべらずに転がっている．円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする．

ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し，同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた．その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする．

\end{mawarikomi}

(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ．