「曲線」について
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(12ページ目:全1320問中111問~120問を表示)![早稲田大学](./img/univ/waseda.png)
点$\mathrm{F}(0,\ 1)$を通り,直線$y=-1$に接する円の中心が描く軌跡を曲線$C$とする.このとき,曲線$C$を表す方程式は
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる.また,曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる.線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき,曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる.
\[ y=\frac{1}{[ウ]}x^2 \]
となる.また,曲線$C$上に$x$座標が正である点$\mathrm{P}$をとる.線分$\mathrm{FP}$の長さが$4$となるとき,曲線$C$の点$\mathrm{P}$における接線と曲線$C$および$y$軸とで囲まれる図形の面積は$[エ] \sqrt{[オ]}$となる.
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次の問に答えよ.
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする.点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り,直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし,同じく点$\mathrm{A}$を通り,$x$軸に平行な直線を$n$とする.直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし,直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき,次の各問いに答えよ.
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である.
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である.
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし,直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき,四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である.
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし,動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は,それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき,次の各問いに答えよ.
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である.
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり,また,点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると,曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である.
(3)$a$を正の実数とし,$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする.曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を考える.点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし,点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする.点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする.$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき,次の各問いに答えよ.
(i) $a$の値は$[ク]$である.
(ii) $2$直線$\ell$,$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である.
(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする.点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り,直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし,同じく点$\mathrm{A}$を通り,$x$軸に平行な直線を$n$とする.直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし,直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき,次の各問いに答えよ.
(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である.
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である.
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし,直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき,四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である.
(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし,動点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$は,それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき,次の各問いに答えよ.
(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である.
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき,点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり,また,点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると,曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である.
(3)$a$を正の実数とし,$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする.曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を考える.点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし,点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする.点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする.$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき,次の各問いに答えよ.
(i) $a$の値は$[ク]$である.
(ii) $2$直線$\ell$,$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である.
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関数$f(x)=|x^2-1|-1$について,次の問に答えよ.
(1)関数$f(x)$の最小値,およびそのときの$x$の値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ.
(2)不等式$\displaystyle |x^2-1|<\frac{1}{2}$を解け.
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(4)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(1)関数$f(x)$の最小値,およびそのときの$x$の値を求めよ.また,曲線$y=f(x)$と$x$軸の共有点の座標を求めよ.
(2)不等式$\displaystyle |x^2-1|<\frac{1}{2}$を解け.
(3)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ f \left( \frac{1}{2} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(4)曲線$y=f(x)$と接線$\ell$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
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$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある.ここで$w=x+yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)と表すとき,以下の問に答えよ.
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする.このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ.
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ.
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある.ここで$w=x+yi$($x,\ y$は実数,$i$は虚数単位)と表すとき,以下の問に答えよ.
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする.このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ.
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$,$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする.このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ.
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座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が,$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている.また$\mathrm{O}$を原点とする.実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して,線分$\mathrm{OP}_a$と,動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と,線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく.次の問に答えよ.
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする.導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ.
(2)自然数$n$に対して,$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく.$U(n)$を求めよ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ.
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている.また$\mathrm{O}$を原点とする.実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して,線分$\mathrm{OP}_a$と,動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と,線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく.次の問に答えよ.
(1)$f(t)=S(0,\ t)$とする.導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ.
(2)自然数$n$に対して,$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく.$U(n)$を求めよ.
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ.
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曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする.ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする.点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$,点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする.直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき,その点を$\mathrm{Q}$とする.点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,以下の問に答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし,$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ.
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり,そのときの点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である.
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし,$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ.
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり,そのときの点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である.
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曲線$C:y=x^2$上の点を$\mathrm{P}$とする.ただし$\mathrm{P}$の$x$座標は正とする.点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$,点$\mathrm{P}$を通り$\ell$に垂直な直線を$m$とする.直線$m$と曲線$C$が$\mathrm{P}$とは異なる交点をもつとき,その点を$\mathrm{Q}$とする.点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,以下の問に答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし,$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ.
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり,そのときの点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である.
(1)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$n$とし,$\ell$と$n$との交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{R}$の座標を$(p,\ q)$とするとき
\[ q=\frac{[キ]}{[ク]p^2}+\frac{[ケ]}{[コ]} \]
が成り立つ.
(2)曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれる部分の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$であり,そのときの点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \mathrm{P} \left( \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right),\quad \mathrm{Q} \left( \frac{[チ]}{[ツ]},\ \frac{[テ]}{[ト]} \right) \]
である.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[ク]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
(1)赤と青の$2$色を両方とも必ず用いて,正四面体の各面を塗り分ける場合の数は$[ア]$通りである.ただし,回転して一致する場合は同じものとみなす.
(2)$n$を$1 \leqq n \leqq 16$を満たす整数とする.$5n$を$17$で割ったときの余りが$1$となるとき,$n=[イ]$である.
(3)$A=\log_4 120-\log_4 6-\log_4 10$を計算すると,$A=[ウ]$である.
(4)$k$を実数とし,$2$次方程式$x^2+kx-1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.$2$次方程式$x^2-(k+4)x+1=0$が$2$つの解$\alpha^2$と$\beta^2$を持つとき,$k$の値をすべて求めると,$k=[エ]$である.
(5)$a,\ b$を実数とする.$x$の$2$次式$f(x)$が,$x^2 f^\prime(x)-f(x)=x^3+ax^2+bx$を満たすとき,$a+b=[オ]$である.
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さがそれぞれ$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{BC}=3$,$\mathrm{CA}=4$のとき,三角形$\mathrm{ABC}$に内接する円の半径は$[カ]$である.
(7)$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$において,$\tan \theta=2$が成り立つとき,$\cos \theta=[キ]$である.
(8)曲線$y=x^3-x^2+x+1$と曲線$y=x^3-2x^2+5x-2$で囲まれた図形の面積は$[ク]$である.
![同志社大学](./img/univ/doshisha.png)
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.
(1)$0<\theta<\pi$とし,$t=\cos 2\theta$とおく.$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる.$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち,$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である.したがって,$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である.
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき,カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく.並べ方は全部で$[オ]$通りである.そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである.また,$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである.
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は,$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる.また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき,$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である.
(1)$0<\theta<\pi$とし,$t=\cos 2\theta$とおく.$\displaystyle \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$と$\displaystyle \frac{\sin 5\theta}{\sin \theta}$をそれぞれ$t$を用いて表すと$[ア]$と$[イ]$となる.$\sin 5\theta=0$となる$\theta$のうち,$0<\theta<\pi$において最小のものの値は$[ウ]$である.したがって,$\displaystyle \cos \frac{2\pi}{5}$の値は$[エ]$である.
(2)$1$から$5$までの異なる整数が$1$つずつ書いてある$5$枚のカードを左から右へ順に並べたとき,カードに書かれた整数を左から$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$とおく.並べ方は全部で$[オ]$通りである.そのうち$a_1<a_2<a_3$かつ$a_3>a_4>a_5$となる並べ方は$[カ]$通りである.また,$a_1 \neq 1$かつ$a_2 \neq 2$となる並べ方は$[キ]$通りである.
(3)$4$次関数$y=3x^4-8x^3$は,$x=[ク]$のとき最小値$[ケ]$をとる.また直線$\ell$がこの$4$次関数が表す曲線と$2$点で接するとき,$2$つの接点のうち$x$座標が大きい方の$x$座標の値は$[コ]$である.
![久留米大学](./img/univ/kurume.png)
座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$,$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする.ここで,$m$は実数とする.
(1)$m$の値が変化するとき,点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である.ただし,点$(0,\ 1)$を含まない.
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき,点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である.
(1)$m$の値が変化するとき,点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である.ただし,点$(0,\ 1)$を含まない.
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき,点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である.