以下の問いに答えよ．ただし，解が分数になるときは既約分数とせよ．

(1)赤玉が$3$個，青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し，赤玉が$1$個，青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する．すべての箱の玉を混ぜ，その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$となった．企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ．
(2)企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている．$10$個のうち赤玉が$3$個，青玉が$7$個含まれているとする．

(i) $1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認して戻すということを$2$回行う．$2$回とも赤玉となる確率を求めよ．
(ii) $1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す．$2$個とも赤玉となる確率を求めよ．
(iii) 赤玉が$3$個，青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する．$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し，色を確認する．$3$箱とも，取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ．

$1$辺の長さが$\sqrt{2}$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$4$つの正三角形を側面とする正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{OA}$と$\mathrm{OC}$を$4:1$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$と$\mathrm{R}$，正の実数$r$に対して$\mathrm{OB}$を$1:r$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を計算せよ．答が$r$の有理式になる場合は，$1$つの既約分数式で解答せよ．
(2)線分$\mathrm{PR}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行になる$r$を求めよ．
(3)$\mathrm{QM}$と$\mathrm{OD}$が平行なとき，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面$\alpha$で正四角錐$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$を$2$つの多面体に切り分ける．このとき，$\alpha$による切り口の図形の面積，および，切り分けたうち頂点$\mathrm{O}$を含む多面体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)赤球と白球を合わせて$13$個の球が入っている袋から同時に$2$個の球を取り出す．$2$個の球が同じ色である確率が$\displaystyle \frac{7}{13}$であるとき，この袋には$[ア]$個の赤球が入っている．ただし，赤球の個数は白球の個数より多いとする．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，$\mathrm{BC}=2$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$2 \sqrt{2}$のとき，$\displaystyle \cos A=\frac{[イ]}{[ウ]}$である．
(3)不等式$\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2} \leqq 4$の解は$\displaystyle [エ] \leqq x \leqq \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(4)分母が$12$である正の既約分数を値が小さい順に並べた数列
\[ \frac{1}{12},\ \frac{5}{12},\ \frac{7}{12},\ \frac{11}{12},\ \frac{13}{12},\ \cdots \]
の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると，$S_4=[キ]$及び$S_8=[ク]$であり，

$\displaystyle S_{39}=\frac{\kakkofour{ケ}{コ}{サ}{シ}}{[ス][セ]}$である．
(5)$\displaystyle \left( \displaystyle\frac{1}{45} \right)^{100}$を小数で表したとき，小数第$[ソ][タ][チ]$位に初めて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(6)$x$の関数$\displaystyle f(x)=\int_1^x y^2(y-3) \, dy$は$x=[ツ]$のとき最小値$[テ][ト]$をとる．

次の空所を埋めよ．

(1)$\log_{10}2=A$，$\log_{10}3=B$とするとき，$\log_{10}6$，$\log_{10}5$の値をそれぞれ$A,\ B$を用いて表すと，$\log_{10}6=[ア]$，$\log_{10}5=[イ]$である．
また，$\log_{10}{(0.6)}^{50}=50(\log_{10}6-[ウ])$であるから，${0.6}^{50}$は小数第$[エ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}6=0.7782$を用いてもよい．
(2)$m,\ n$を正の整数として，分数$\displaystyle \frac{n}{m}$がこれ以上約分できないとき，すなわち，$m,\ n$が互いに素であるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$を既約分数とよぶ．$10$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものは$[オ]$個あり，それらの総和は$[カ]$である．
また，$62$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものの総和は$[キ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)分母と分子が整数である有理数全体の集合を$Q$とおく．さらに$2$以上$4$以下で分母が$15$である$Q$の部分集合を$U$とおく．次の問いに答えなさい．

(i) 分子が$3$の倍数である$U$の要素の個数$N_1$と分子が$5$の倍数である$U$の要素の個数$N_2$を求めなさい．

$N_1=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$ \quad $N_2=\mkakko{$\mathrm{c}$}$

(ii) $U$の要素の中で，既約分数の個数を$N_3$とする．$N_3$を求めなさい．

$N_3=\mkakko{$\mathrm{d}$} \mkakko{$\mathrm{e}$}$


(2)三角形$\mathrm{ABC}$において$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{B}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{AP}=\mathrm{AC}$を満たす点$\mathrm{P}$をとり，$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とおく．次の問いに答えなさい．

(i) $\mathrm{BA}>\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{f}$}+\mkakko{$\mathrm{g}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{h}$}}$である．
(ii) $\mathrm{BA}<\mathrm{BP}$のとき，$\tan \theta=\mkakko{$\mathrm{i}$}+\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{l}$}}$である．

$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の数字が書かれた$6$枚のカードがある．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．

(1)これら$6$枚のカードの中から$4$枚を取って並べるとき，$4$桁の整数は全部で何通りできるか求めよ．
(2)これら$6$枚のカードを$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(3)これら$6$枚のカードを$2$組に分ける方法は全部で何通りあるか求めよ．ただし，いずれの組も少なくとも$1$枚のカードを含む．
(4)これら$6$枚のカードが箱に入っている．この箱の中から$2$枚のカードを一度に無作為に取り出す．大きい方の数字が$4$以下で，小さい方の数字が$2$以上である確率を求めよ．
(5)これら$6$枚のカードを無作為に横一列に並べるとき，$1$が$0$の隣にならない確率を求めよ．

以下の各問いに答えよ．

(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．

以下の各問いに答えよ．

(1)次の連立方程式を解け．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
2x+2y+3z=2 \\
-3x-3y+z=-14 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
x+3y+2z=2 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
(2)グラフが$x$軸と点$(2,\ 0)$および$(-3,\ 0)$で交わり，点$(6,\ 12)$を通るような$2$次関数を$y=ax^2+bx+c$とするとき，$a,\ b,\ c$をそれぞれ求めよ．
(3)正四角すい$\mathrm{O}$-$\mathrm{ABCD}$において，底面$\mathrm{ABCD}$の一辺の長さは$2a$，高さは$a$である．点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線の長さを求めよ．
(4)循環小数の積$0.\dot{1} \dot{8} \times 0. \dot{0}1 \dot{1}$を$1$つの既約分数で表せ．

$\mathrm{A}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球と，$\mathrm{B}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球がある．これらの球を袋に入れて，この袋から球を取り出すとする．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．

(1)球を$1$個ずつ$4$回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．

\mon[ア．] $4$回のうち，同じ色の球を$2$回以上取り出す確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$回のうち，異なる$2$色の球をそれぞれ$2$回ずつ取り出す確率を求めよ．

(2)$4$個の球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答えよ．

\mon[ア．] $4$個の球を同時に取り出したとき，$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が$1$個含まれ，かつ$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[ウ．] $4$個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻してもう一度同時に$4$個の球を取り出す．この合計$8$個の球のうち，$\mathrm{A}$と書かれた球が$6$個で，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)分母が$60$で，分子が$59$以下の自然数である分数$\displaystyle \frac{1}{60},\ \frac{2}{60},\ \frac{3}{60},\ \cdots,\ \frac{59}{60}$の中でこれ以上約分できない分数（既約分数）は何個あるか．
(2)$3$つのさいころを同時に投げ，出た目の最大値を$m$とするとき，$m=5$となる確率を求めよ．ただし，$3$つのさいころのすべての目の出方は同様に確からしいものとする．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を求めよ．
(4)$108$の正の約数の総和を求めよ．