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(8ページ目:全1641問中71問~80問を表示) 国立 秋田大学 2016年 第1問
$f(x)=\log_2 (x+1)+\log_2 (x-2)-2$,$g(x)=|x(x-2)|$とする.次の問いに答えよ.
(1)方程式$f(x)=0$を解け.
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ.
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする.このとき,曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸,および$2$直線$x=-1$,$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(1)方程式$f(x)=0$を解け.
(2)関数$y=g(x)$のグラフの概形をかけ.
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸との交点の座標を$(a,\ 0)$とする.このとき,曲線$y=g(x) (-1 \leqq x \leqq a)$と$x$軸,および$2$直線$x=-1$,$x=a$で囲まれた図形の面積を求めよ.
国立 秋田大学 2016年 第2問
$f(x)=x^2-3x$とする.次の問いに答えよ.
(1)$-3 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.
(2)点$(3,\ -4)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ.
(3)放物線$y=f(x)$と$(2)$の接線で囲まれた図形の面積を求めよ.
(1)$-3 \leqq x \leqq 3$における$f(x)$の最大値と最小値を求めよ.
(2)点$(3,\ -4)$から放物線$y=f(x)$に引いた接線の方程式を求めよ.
(3)放物線$y=f(x)$と$(2)$の接線で囲まれた図形の面積を求めよ.
国立 島根大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.
(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ.
(2)$u,\ v$を実数とする.$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき,点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ.
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき,点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ.
(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ.
(2)$u,\ v$を実数とする.$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき,点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ.
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき,点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ.
国立 山口大学 2016年 第1問
$n$を自然数とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし,
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし,
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
(1)$\alpha,\ \beta$を実数とし,
\[ f(x)=\frac{\alpha}{x-\alpha}-\frac{\beta}{x-\beta} \]
とする.$f(x)$の第$n$次導関数$f^{(n)}(x)$について,次の等式が成り立つことを,数学的帰納法によって証明しなさい.
\[ f^{(n)}(x)={(-1)}^n n! \left\{ \frac{\alpha}{{(x-\alpha)}^{n+1}}-\frac{\beta}{{(x-\beta)}^{n+1}} \right\} \]
(2)$b,\ c$を$b^2>4c$を満たす実数とし,
\[ h(x)=\frac{x}{x^2-bx+c} \]
とする.また,$h(x)$の第$n$次導関数$h^{(n)}(x)$に対し,$\displaystyle a_n=\frac{c^nh^{(n)}(0)}{n!}$とおく.
(i) $2$次方程式$x^2-bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする.$a_n$を$\alpha,\ \beta,\ n$を用いて表しなさい.
(ii) $a_{n+2}-ba_{n+1}+ca_n=0$が成り立つことを示しなさい.
国立 島根大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.
(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ.
(2)$u,\ v$を実数とする.$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき,点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ.
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき,点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ.
(1)$2$次方程式$t^2+5t+2=0$の解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\alpha^2+\beta^2$の値を求めよ.
(2)$u,\ v$を実数とする.$2$次方程式$t^2-ut+v=0$が実数解をもつとき,点$(u,\ v)$の存在範囲を図示せよ.
(3)平面上の点$(a,\ b)$が原点を中心とする半径$1$の円の内部を動くとき,点$(a+b,\ ab)$の動いてできる領域を図示せよ.
国立 宇都宮大学 2016年 第5問
座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる.点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$,$m$とする.$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$,$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし,点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
国立 宇都宮大学 2016年 第5問
座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる.点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$,$m$とする.$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$,$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし,点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
国立 山梨大学 2016年 第2問
曲線$C_1:y=(x-a)^2-4$と直線$\ell:y=2x-7$が点$\mathrm{P}$で接している.曲線$C_2$は,$y=-x^2$を平行移動した曲線で,$\mathrm{P}$を通り,直線$y=6$の$x<0$の部分に接している.ただし,$a$は実数とする.
(1)$a$の値を求めよ.
(2)$C_2$の方程式を求め,$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ.
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(1)$a$の値を求めよ.
(2)$C_2$の方程式を求め,$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ.
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
国立 山梨大学 2016年 第3問
関数$f(x)=x \sqrt{4-x^2}$に対し,曲線$y=f(x)$を$C$とする.
(1)$f(x)$の増減を調べよ.ただし,$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない.
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分,直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする.$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ.
(1)$f(x)$の増減を調べよ.ただし,$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない.
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分,直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする.$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ.
国立 愛媛大学 2016年 第1問
空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$,$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して,線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする.
(1)球$S$の方程式を求めよ.
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$,および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ.
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して,$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.ただし,$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である.
(1)球$S$の方程式を求めよ.
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$,および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ.
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して,$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.ただし,$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である.