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私立 星薬科大学 2014年 第4問次の問に答えよ．
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{{125}^{x^2}}>5^{20-17x}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}<x<[$34$]$である．また，$x$がこの値の範囲内で方程式$\displaystyle \frac{x^{16}}{256}=x^{8 \log_2 x}$を満たすとき，$x$の値は$x=[$35$]$となる．
(2)$k$を定数として，$x$の方程式$2^{3x}-2^{2(x+1)}+2^{x+2}+2^x-3=k$の解が$1$つの実数解のみであるとき，$k$がとりえる値の範囲は
\[ -[$36$]<k<-\frac{[$37$][$38$]}{[$39$][$40$]},\quad -[$41$]<k \]
である．
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{{125}^{x^2}}>5^{20-17x}$を満たす$x$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}<x<[$34$]$である．また，$x$がこの値の範囲内で方程式$\displaystyle \frac{x^{16}}{256}=x^{8 \log_2 x}$を満たすとき，$x$の値は$x=[$35$]$となる．
(2)$k$を定数として，$x$の方程式$2^{3x}-2^{2(x+1)}+2^{x+2}+2^x-3=k$の解が$1$つの実数解のみであるとき，$k$がとりえる値の範囲は
\[ -[$36$]<k<-\frac{[$37$][$38$]}{[$39$][$40$]},\quad -[$41$]<k \]
である．
私立 東洋大学 2014年 第3問$e$を自然対数の底とする．関数$y=xe^{2x}$のグラフを曲線$C$とおき，点$(1,\ e^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．次の各問に答えよ．
(1)$\ell$の方程式は$y=e^2([ア]x-[イ])$である．
(2)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x} \, dx=\frac{e^2-[ウ]}{[エ]}$である．また，$\displaystyle \int_0^1 xe^{2x} \, dx=\frac{e^2+[オ]}{[カ]}$である．
(3)曲線$C$，接線$\ell$と$y$軸とで囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キ]e^2+1}{[ク]}$である．
(1)$\ell$の方程式は$y=e^2([ア]x-[イ])$である．
(2)$\displaystyle \int_0^1 e^{2x} \, dx=\frac{e^2-[ウ]}{[エ]}$である．また，$\displaystyle \int_0^1 xe^{2x} \, dx=\frac{e^2+[オ]}{[カ]}$である．
(3)曲線$C$，接線$\ell$と$y$軸とで囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[キ]e^2+1}{[ク]}$である．
私立 東京女子大学 2014年 第3問$a,\ b$は$1$でない正の実数とする．$x$の$2$次方程式
\[ x^2-(\log_a b)x+2 \log_b a=0 \]
が相異なる$2$つの正の実数解を持つような点$(a,\ b)$の動く領域を図示せよ．
\[ x^2-(\log_a b)x+2 \log_b a=0 \]
が相異なる$2$つの正の実数解を持つような点$(a,\ b)$の動く領域を図示せよ．
私立 玉川大学 2014年 第1問$[ア]$～$[ツ]$を埋めよ．
(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．
(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．
私立 名城大学 2014年 第1問次の問について，答えを$[ ]$に記入せよ．
(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．
(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式の空欄$[$25$]$～$[$28$]$にあてはまるものを下の解答群から選べ．
\[ [$25$]<[$26$]<\sqrt[3]{7}<[$27$]<[$28$] \]
解答群 \quad $\nagamaruichi \ \tan {50}^\circ \qquad \nagamaruni \ \sqrt{5} \qquad \nagamarusan \ \sqrt[4]{14} \qquad \nagamarushi \ \sin {100}^\circ$
(2)次の空欄$[$29$]$～$[$38$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$29$]$，$[$32$]$には$+$，$-$，$\pm$いずれかの記号が入る．
(i) 方程式$\log_2 (x+7)+\log_2 (3x+2)=\log_2 6$の解は
\[ x=\frac{\kakkofour{$29$}{$30$}{$31$}{$32$} \sqrt{[$33$][$34$][$35$]}}{[$36$]} \]
である．
(ii) $\log_2 3 \cdot \log_4 8 \cdot \log_9 16=[$37$][$38$]$である．
(1)次の不等式の空欄$[$25$]$～$[$28$]$にあてはまるものを下の解答群から選べ．
\[ [$25$]<[$26$]<\sqrt[3]{7}<[$27$]<[$28$] \]
解答群 \quad $\nagamaruichi \ \tan {50}^\circ \qquad \nagamaruni \ \sqrt{5} \qquad \nagamarusan \ \sqrt[4]{14} \qquad \nagamarushi \ \sin {100}^\circ$
(2)次の空欄$[$29$]$～$[$38$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$29$]$，$[$32$]$には$+$，$-$，$\pm$いずれかの記号が入る．
(i) 方程式$\log_2 (x+7)+\log_2 (3x+2)=\log_2 6$の解は
\[ x=\frac{\kakkofour{$29$}{$30$}{$31$}{$32$} \sqrt{[$33$][$34$][$35$]}}{[$36$]} \]
である．
(ii) $\log_2 3 \cdot \log_4 8 \cdot \log_9 16=[$37$][$38$]$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$～$[$18$]$にあてはまる数字を入れよ．
$2$次関数$f(x)=ax^2-2ax+2a^2+4a+1$（ただし，$a$は$a \neq 0$を満たす実数）とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標は$[$1$]$であり，$y$座標は
\[ [$2$]a^2+[$3$]a+[$4$] \]
である．
(2)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標が負となるとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ -[$5$]<a<-\frac{[$6$]}{[$7$]} \]
である．
(3)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標は
$\displaystyle a=-\frac{[$8$]}{[$9$]}$のとき，最小値$\displaystyle -\frac{[$10$]}{[$11$]}$をとる．
(4)$2$次方程式$f(x)=0$が負の解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲は，
\[ a<\frac{-[$12$]-\sqrt{[$13$]}}{[$14$]},\quad \frac{-[$15$]+\sqrt{[$16$]}}{[$17$]}<a<[$18$] \]
である．
$2$次関数$f(x)=ax^2-2ax+2a^2+4a+1$（ただし，$a$は$a \neq 0$を満たす実数）とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標は$[$1$]$であり，$y$座標は
\[ [$2$]a^2+[$3$]a+[$4$] \]
である．
(2)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標が負となるとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ -[$5$]<a<-\frac{[$6$]}{[$7$]} \]
である．
(3)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標は
$\displaystyle a=-\frac{[$8$]}{[$9$]}$のとき，最小値$\displaystyle -\frac{[$10$]}{[$11$]}$をとる．
(4)$2$次方程式$f(x)=0$が負の解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲は，
\[ a<\frac{-[$12$]-\sqrt{[$13$]}}{[$14$]},\quad \frac{-[$15$]+\sqrt{[$16$]}}{[$17$]}<a<[$18$] \]
である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第3問次の空欄$[$38$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$38$]-\cos \theta}{[$39$]}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は
\[ y=x-[$40$] \]
$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+[$41$] \]
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は
\[ \left( \frac{[$42$] \cos \theta}{[$43$]+\cos \theta},\ \frac{-[$44$]+\cos \theta}{[$45$]+\cos \theta} \right) \]
である．
(2)$\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は
\[ \left( \frac{[$46$] \cos \theta}{[$47$]+\cos \theta},\ \frac{[$48$]-\cos \theta}{[$49$]+\cos \theta} \right) \]
$\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと，
\[ S=[$50$]-\cos \theta-\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \]
相加平均と相乗平均の関係より，
\[ [$52$]+\cos \theta+\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \geqq [$53$] \sqrt{$[$54$]$} \]
この等号は$\cos \theta=-[$55$]+\sqrt{[$56$]}$のとき成立する．よって
\[ [$57$]<S \leqq [$58$]-[$59$] \sqrt{[$60$]} \]
である．
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$38$]-\cos \theta}{[$39$]}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は
\[ y=x-[$40$] \]
$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+[$41$] \]
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は
\[ \left( \frac{[$42$] \cos \theta}{[$43$]+\cos \theta},\ \frac{-[$44$]+\cos \theta}{[$45$]+\cos \theta} \right) \]
である．
(2)$\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は
\[ \left( \frac{[$46$] \cos \theta}{[$47$]+\cos \theta},\ \frac{[$48$]-\cos \theta}{[$49$]+\cos \theta} \right) \]
$\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと，
\[ S=[$50$]-\cos \theta-\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \]
相加平均と相乗平均の関係より，
\[ [$52$]+\cos \theta+\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \geqq [$53$] \sqrt{$[$54$]$} \]
この等号は$\cos \theta=-[$55$]+\sqrt{[$56$]}$のとき成立する．よって
\[ [$57$]<S \leqq [$58$]-[$59$] \sqrt{[$60$]} \]
である．
私立 上智大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a$を実数とする．実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．方程式
\[ \left[ \frac{1}{2}x \right]=x-a \]
が$0 \leqq x<4$の範囲に異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は$[ア] \leqq a<[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{11}}$を小数で表すとき，小数第$1$位の数字は$[ウ]$である．
(3)${(x^2+\sqrt{2}y)}^6$の展開式における$x^8y^2$の係数は$[エ]$である．
(4)$k$を実数とする．$2$つの$2$次方程式
\[ x^2-(k-1)x+k+2=0,\quad x^2-(k+1)x+k^2-5=0 \]
が，どちらも$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ \frac{[オ]}{[カ]}<k<[キ] \]
であり，少なくともどちらか一方が$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ k<[ク] \quad \text{または} \quad [ケ]<k \]
である．
(1)$a$を実数とする．実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．方程式
\[ \left[ \frac{1}{2}x \right]=x-a \]
が$0 \leqq x<4$の範囲に異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は$[ア] \leqq a<[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{11}}$を小数で表すとき，小数第$1$位の数字は$[ウ]$である．
(3)${(x^2+\sqrt{2}y)}^6$の展開式における$x^8y^2$の係数は$[エ]$である．
(4)$k$を実数とする．$2$つの$2$次方程式
\[ x^2-(k-1)x+k+2=0,\quad x^2-(k+1)x+k^2-5=0 \]
が，どちらも$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ \frac{[オ]}{[カ]}<k<[キ] \]
であり，少なくともどちらか一方が$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ k<[ク] \quad \text{または} \quad [ケ]<k \]
である．
私立 上智大学 2014年 第3問$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}(x^3-3x^2-9x+3)$とする．
(1)関数$f(x)$は，$x=[テ]$で極大値$[ト]$をとり，$x=[ナ]$で極小値$[ニ]$をとる．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y$軸との交点における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[ヌ]}{[ネ]}x+\frac{[ノ]}{[ハ]}$である．
(3)実数からなる集合
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0 \},\quad B=\{x \;|\; x \geqq b\} \]
を考える．ただし，$b$は整数とする．
(i) $A \subset B$となる最大の整数$b$は$[ヒ]$である．
(ii) $B \subset A$となる最小の整数$b$は$[フ]$である．
(iii) $b \in A$であり，$B \subset A$とならない整数$b$は$[ヘ]$個ある．
(1)関数$f(x)$は，$x=[テ]$で極大値$[ト]$をとり，$x=[ナ]$で極小値$[ニ]$をとる．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y$軸との交点における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[ヌ]}{[ネ]}x+\frac{[ノ]}{[ハ]}$である．
(3)実数からなる集合
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0 \},\quad B=\{x \;|\; x \geqq b\} \]
を考える．ただし，$b$は整数とする．
(i) $A \subset B$となる最大の整数$b$は$[ヒ]$である．
(ii) $B \subset A$となる最小の整数$b$は$[フ]$である．
(iii) $b \in A$であり，$B \subset A$とならない整数$b$は$[ヘ]$個ある．