関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^x (-t+x)(t-x+2) \, dt$で定義されている．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を$x$の整式で表せ．
(2)$y=f(x)$の極値を求めよ．
(3)$k \geqq 0$を定数とする．$x$に関する方程式$f(x)=k$が自然数の解をもつときの定数$k$をすべて求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x \leqq 5$のとき，不等式$\sqrt{5-x}>x-2$を満たす$x$の値の範囲を求めよ．
(2)方程式$\log_2 x+\log_8 x=(\log_2 x)(\log_8 x)$を満たす$x$の値をすべて求めよ．
(3)$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$のとき，不等式
\[ 2(\cos 4x-1) \cos x-3(\cos 3x+\cos x)>0 \]
を満たす$x$の値の範囲を求めよ．

$a$と$c$は実数で$a>0$とする．また，関数$f(x)$を次式で定義する．
\[ f(x)=(x^2+a)(x-a^2)^2-cx^2 \]

(1)方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数を求めよ．
今後，方程式$f(x)=0$が$3$個の異なる実数解を持つ場合のみを取り扱う．
(2)方程式$f(x)=0$の$3$個の異なる実数解を$a$を用いて表せ．
(3)$y=f(x)$のグラフのうち$f(x) \geqq 0$の部分と$x$軸で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．このとき$\displaystyle \lim_{a \to +0} \frac{S(a)}{a^5}$を求めよ．

$3$つの放物線$y=x^2+1$，$y=x^2$，$y=-x^2$を，それぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$C_1$上の点$(a,\ a^2+1)$における接線を$\ell$とするとき，$\ell$の方程式を求めなさい．また，$C_2$と$\ell$とで囲まれる図形の面積は常に一定となることを示しなさい．
(2)$C_3$を平行移動した放物線と$C_2$とで囲まれる図形の面積が常に$\displaystyle \frac{8}{3}$となるようにしたい．このとき，$C_3$を平行移動した放物線の頂点の軌跡を求めなさい．また，その軌跡のグラフをかきなさい．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$

(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$

(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$

(2)次の極限を求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である．
(4)$0 \leqq x<2\pi$において，$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき，最大値$[ト]$をとる．
(5)以下の文章に「必要条件である」，「十分条件である」，「必要十分条件である」，「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ．ただし，$n$は自然数とする．

(i) $n$が$6$の倍数であることは，$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$．
(ii) $n$が奇数であることは，$n^2$が奇数であるための$[リ]$．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{4}{3}x^3+2x^2+2x+1$と関数$\displaystyle g(x)=\frac{2}{3}x^4+\frac{4}{3}x^3+2x^2+2x+1$がある．方程式$f(x)=0$の実数解を$\alpha$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$-1<\alpha<0$であることを示せ．
(2)$g(x)$の最小値を$\alpha$を用いて多項式で表せ．

実数全体を定義域とする関数$f(x),\ g(x)$をそれぞれ
\[ f(x)=e^x,\quad g(x)=\frac{e^{x+1}+e^{-x-1}}{2} \]
で定める．曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ e^t)$における法線に関して，直線$x=t$を対称移動した直線を$\ell$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$は曲線$y=g(x)$に接することを示し，その接点の$x$座標を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接点を$\mathrm{P}$とする．$\ell$と曲線$y=f(x)$，および$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S(t)$とする．$t$が実数全体を動くとき，$S(t)$の最小値を求めよ．

次の問に答えなさい．

(1)$2$つの解$\alpha=1+\sqrt{2}$，$\beta=\sqrt{3}$をもつ$2$次方程式を一つ求めなさい．
(2)ある$2$次方程式$f(x)=0$の解の$1$つが$\alpha=s+t \sqrt{2}$であった．このとき，もう一つの解$\beta$に関する次の議論は正しくないことを説明しなさい．
\begin{jituwaku}
$\alpha=s+t \sqrt{2}$から簡単な計算により，$\alpha^2-2s \alpha+s^2-2t^2=0$を得る．これは，$\alpha$が$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$の解であることを意味することから，$f(x)=x^2-2sx+s^2-2t^2$がわかる．よって，$f(x)=0$のもう一つの解$\beta$は$x^2-2sx+s^2-2t^2=0$を解いて$\beta=s-t \sqrt{2}$と求まる．
\end{jituwaku}
(3)$2$次方程式$x^2+px+q=0$において，$p,\ q$は有理数とする．$\alpha=1+\sqrt{2}$がこの方程式の解であるとき，もう一方の解$\beta$を求めなさい．

$a,\ b,\ p,\ q$を実数の定数（ただし$a<b$）とする．$2$次方程式
\[ (*) \quad x^2-px+q=0 \]
について以下の問いに答えよ．

(1)$(*)$が実数解をもち，それらがともに$a$以上$b$以下であるための必要十分条件を$p,\ q$についての連立不等式で表せ．
(2)$(1)$で導いた$p,\ q$についての連立不等式を満たす座標平面上の点$(p,\ q)$全体の集合を$D$とするとき，$a,\ b$を用いて$D$の面積を表せ．

次の問いに答えなさい．

(1)$x,\ y$の多項式$x^3y+x^2y^2+x^2y+x^2+xy^2+xy+x+y$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$のとき$(1)$の多項式$x^3y+x^2y^2+x^2y+x^2+xy^2+xy+x+y$の値を求めなさい．
(3)$a<0$とし，$2$次方程式$ax^2-(a^2+a+1)x-2a-4=0$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．このとき$2$つの解$\alpha,\ \beta$が$-2<\alpha<-1$かつ$-1<\beta<0$を満たすような$a$の範囲を求めなさい．