「方程式」について
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国立 宮城教育大学 2015年 第3問関数$f(x)$が
\[ f(x)=3x^2-\int_0^1 |f(t)| \, dt \]
をみたすとき，次の問に答えよ．
(1)方程式$4x^3-6x^2+1=0$を$\displaystyle x=\frac{1}{u}$とおくことにより解け．
(2)$\displaystyle \int_0^1 |f(t)| \, dt=3a^2$とおくとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a \geqq 0$とする．
\[ f(x)=3x^2-\int_0^1 |f(t)| \, dt \]
をみたすとき，次の問に答えよ．
(1)方程式$4x^3-6x^2+1=0$を$\displaystyle x=\frac{1}{u}$とおくことにより解け．
(2)$\displaystyle \int_0^1 |f(t)| \, dt=3a^2$とおくとき，$a$の値を求めよ．ただし，$a \geqq 0$とする．
国立 秋田大学 2015年 第3問$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第4問微分可能な関数$f(x)$は，$2$つの条件$f^\prime(x)=xe^x$，$f(1)=0$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
(1)関数$f(x)$を求めよ．
(2)すべての$x$に対して次の等式を満たす関数$g(x)$を求めよ．
\[ g(x)=f(x)+\frac{(2-x)e^x}{e-1} \int_0^1 g(t) \, dt \]
(3)$g(x)$を$(2)$で求めた関数とし，$k$を定数とする．$x$についての方程式$g(x)=kx$の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{x}=\infty$を用いてよい．
国立 宇都宮大学 2015年 第1問袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．
国立 宇都宮大学 2015年 第1問袋の中に$5$個の玉が入っている．それらは，$0$と書かれた玉が$2$個，$1$と書かれた玉，$-1$と書かれた玉，$2$と書かれた玉がそれぞれ$1$個ずつである．この袋の中から$3$個の玉を取り出す．取り出した$3$個の玉に書かれた数字の和を$m$とする．次に，袋の中に残った$2$個の玉に書かれた数字の積を$n$とする．このように定義された$m$と$n$のもとで，$2$次関数
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．
\[ f(x)=x^2-mx+n \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$m$のとり得る値をすべて求めよ．
(2)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$をすべて求めよ．
(3)$m$と$n$のとり得る組合せ$(m,\ n)$のすべてについて，それぞれが起こる確率を求めよ．
(4)不等式$f(x)>0$がすべての実数$x$について成り立つ確率を求めよ．
(5)方程式$f(x)=0$が異なる実数解$\alpha,\ \beta$をもち，同時に$\alpha<2$かつ$\beta<2$となる確率を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(4,\ 1,\ -1)$を通る平面が$x$軸と交わる点の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq x<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle 1-\cos^2 x=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x$を解け．
(3)方程式$3(4^x+4^{-x})-13(2^x+2^{-x})+16=0$を解け．
(1)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(4,\ 1,\ -1)$を通る平面が$x$軸と交わる点の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq x<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle 1-\cos^2 x=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x$を解け．
(3)方程式$3(4^x+4^{-x})-13(2^x+2^{-x})+16=0$を解け．
国立 信州大学 2015年 第3問$a$は実数とする．$x$についての$2$次方程式$x^2+2ax+3a^2-2a-4=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，重解をもつときは$\alpha=\beta$とする．
(1)$\alpha,\ \beta$がともに実数になるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$\alpha^3+\beta^3$の最大値を求めよ．
(1)$\alpha,\ \beta$がともに実数になるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$\alpha^3+\beta^3$の最大値を求めよ．
私立 立教大学 2015年 第3問$t$を正の実数とする．放物線$C_1:y=x^2+1$と放物線$C_2:y=-tx^2-1$の両方に接する直線のうち傾きが正であるものを$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_1$の接点を$\mathrm{P}$，直線$\ell$と放物線$C_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$を$t:1$に内分する点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{R}$の$y$座標がとりうる値の範囲を求めよ．
(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_1$の接点を$\mathrm{P}$，直線$\ell$と放物線$C_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$を$t:1$に内分する点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{R}$の$y$座標がとりうる値の範囲を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問$a$を実数とする．絶対値を含む式$|x-a|x-a |x-a|$は，以下の$(1)$と$(2)$のように$2$通りの解釈が可能である．それぞれの解釈のもとで，方程式
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．
(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．
\[ |x-a|x-a |x-a|=x-a \]
を考える．
(1)$|x-a|x-a |x-a|$を，絶対値$|x-a|$と$x$の積から，$a$と絶対値$|x-a|$の積を引いた値と解釈する．このとき，上の方程式の実数解を$a$を用いて小さいほうから列挙すると$x=[キ]$となる．
(2)$|x-a|x-a |x-a|$を$x-a |x-a|x-a$の絶対値であると解釈する．このとき，上の方程式の実数解の個数が$1$個となるための必要十分条件は$a \geqq [ク]$である．また，この方程式の実数解が異なる$3$つの整数となるのは$a=[ケ]$のときである．
(3)$(2)$と同じ解釈のもとで，上の方程式の実数解の個数が有限であるための必要十分条件は$a \neq [コ]$である．$a \neq [コ]$が必要条件であることの証明を書きなさい．
私立 慶應義塾大学 2015年 第5問$f(x)=(x-1) |x-3|-4x+12$とする．また，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする．以下に答えなさい．
(1)$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．
(4)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．
(1)$y=f(x)$のグラフをかきなさい．
(2)直線$\ell$の方程式を求めなさい．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．
(4)曲線$y=f(x)$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めなさい．