「方程式」について
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（31ページ目：全1641問中301問～310問を表示）
国立 秋田大学 2015年 第3問$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．
(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$
(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．
(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$
(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．
(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$
(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(1)次の数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ 4,\ 11,\ 24,\ 43,\ 68,\ 99,\ \cdots \]
(2)次の方程式を解け．
(i) $\log_2 x=\log_4 5$
(ii) $\log_2 x^2=5$
(3)$f(x)=x^3+3x^2-45x+41$とする．$-8 \leqq x \leqq 8$における関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
国立 秋田大学 2015年 第3問$f(x)=|1+2 \sin 2x|$とする．次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
(1)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$f(x)=0$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq \pi$における関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle \int_0^\pi f(x) \, dx$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_{\frac{11}{12}\pi}^x f(t) \, dt=3\pi+18 \sqrt{3}$となる$x$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第2問座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(3,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$をとる．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{X}$，$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Y}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$をできるだけ簡単な整数比で表せ．
(3)$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$を満たすような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が，$(3)$で求めた軌跡上を動くとき，$2x+y$の最大値および最小値を求めよ．
(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$をできるだけ簡単な整数比で表せ．
(3)$\mathrm{PX}:\mathrm{PY}=\mathrm{AX}:\mathrm{AY}$を満たすような点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が，$(3)$で求めた軌跡上を動くとき，$2x+y$の最大値および最小値を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第4問方程式$x-(y-k)^2=0$で表される曲線$C$上に動点$\mathrm{P}((t-k)^2,\ t)$があって，点$\mathrm{P}$と点$(k^2,\ 0)$との距離の$2$乗を$f(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k>0$とする．
(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき，方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(3)$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．
(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき，方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(3)$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
(1)$2$次方程式$3x^2+7x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \frac{\alpha^2}{\beta}+\frac{\beta^2}{\alpha}$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle \log_9 (x+4)=\log_3 (2x-7)+\log_5 \frac{1}{5 \sqrt{5}}$を解け．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$の大きさをそれぞれ$A,\ B$で表すとき，$\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}$，$\displaystyle \cos B=\frac{2}{3}$であるとし，さらに辺$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{38}{5}$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を求めよ．
国立 山形大学 2015年 第1問二つの放物線
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．
国立 山形大学 2015年 第3問座標平面上の放物線$\displaystyle y=x^2-\frac{1}{2}ax+2$を$C$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$a$であるとき，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．
(1)点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と直線$\ell_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)放物線$C$と直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．
(5)面積$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と直線$\ell_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)放物線$C$と直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．
(5)面積$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．