関数$f(x)=e^{-x}$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$t>0$として，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$(2)$で求めた$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

座標平面上の円$C:x^2+(y-1)^2=1$と，$x$軸上の$2$点$\mathrm{P}(-a,\ 0)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$を考える．ただし，$a>0$，$b>0$，$ab \neq 1$とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$のそれぞれから$C$に$x$軸とは異なる接線を引き，その$2$つの接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\mathrm{QR}$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b$で表せ．
(3)$\mathrm{R}$の$y$座標が正であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の周の長さを$T$とする．$T$を$a,\ b$で表せ．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が，条件「$\mathrm{PQ}=4$であり，$\mathrm{R}$の$y$座標は正である」を満たしながら動くとき，$T$を最小とする$a$の値とそのときの$T$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \left( \sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}} \right)^2$を計算し，$2$重根号を用いない形で表せ．
(2)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(3)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(2)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求めよ．

次の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=x^{-2}2^x (x \neq 0)$について，$f^\prime(x)>0$となるための$x$に関する条件を求めよ．
(2)方程式$2^x=x^2$は相異なる$3$個の実数解をもつことを示せ．
(3)方程式$2^x=x^2$の解で有理数であるものをすべて求めよ．

次の問に答えよ．

(1)$\alpha=\sqrt{13}+\sqrt{9+2 \sqrt{17}}+\sqrt{9-2 \sqrt{17}}$とするとき，整数係数の$4$次多項式$f(x)$で$f(\alpha)=0$となるもののうち，$x^4$の係数が$1$であるものを求めよ．
(2)$8$つの実数
\[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9+2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9-2 \sqrt{17}} \]
（ただし，複号$\pm$はすべての可能性にわたる）の中で，$(1)$で求めた$f(x)$に対して方程式$f(x)=0$の解となるものをすべて求め，それ以外のものが解でないことを示せ．
(3)$(2)$で求めた$f(x)=0$の解の大小関係を調べ，それらを大きい順に並べよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$0$でない$2$つの実数$a,\ b$が$a+b+1=0$を満たすとき，$\displaystyle \frac{b^2}{a}+\frac{1}{ab}+\frac{a^2}{b}$の値を求めよ．
(2)$x$の$3$次方程式$x^3-(m+1)x^2-x+m+1=0$が異なる$3$つの実数解をもつとする．これら$3$つの実数解からなる数列が公差$2$の等差数列となるような定数$m$の値をすべて求めよ．
(3)${21}^{2015}$を$400$で割ったときの余りを求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0<x<2\pi$の範囲において，方程式$\sin 5x=\sin x$の解をすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた解のうちで最小のものを$a$とする．曲線$y=\sin 5x-\sin x (0 \leqq x \leqq a)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

曲線$C_1:y=\log x (x>0)$と曲線$C_2:y=-x^2+a$を考える．ただし，$\log$は自然対数を表す．以下の各問に答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における法線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，曲線上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．
(2)$(1)$で求めた法線$\ell$と曲線$C_2$が接するとき，$a$の値を$t$を用いて表せ．また，$C_2$と$\ell$が接する点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$x$軸，および曲線$C_1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S(t)$の極値を求めよ．

$xy$平面において，点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2} \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{2}$の円を$C$とする．円$C$上に原点$\mathrm{O}$とは異なる点$\mathrm{P}$を取り，直線$\mathrm{OP}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$x$座標が$\mathrm{Q}$と同じで，$y$座標が$\mathrm{P}$と同じである点を$\mathrm{R}$とする．

(1)点$\mathrm{P}$が円$C$上の原点$\mathrm{O}$とは異なる点全体を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた曲線と$x$軸および$2$直線$x=0$，$x=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，$b<a$とする．焦点が$(0,\ a)$，準線が$y=b$である放物線を$P$で表すことにする．すなわち，$P$は点$(0,\ a)$からの距離と直線$y=b$からの距離が等しい点の軌跡である．

(1)放物線$P$の方程式を求めよ．
(2)焦点$(0,\ a)$を中心とする半径$a-b$の円を$C$とする．このとき，円$C$と放物線$P$の交点を求めよ．
(3)円$C$と放物線$P$で囲まれた図形のうち，放物線$P$の上側にある部分の面積を求めよ．