「方程式」について
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国立 鳴門教育大学 2015年 第2問$m$を定数とし，放物線$y=x^2+mx-2m+1$を$C_1$とします．次の問いに答えなさい．
(1)$C_1$を原点に関して対称移動した後，さらに$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-m$だけ平行移動した放物線を$C_2$とするとき，放物線$C_2$の方程式を求めなさい．
(2)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$がともに，$x$軸と共有点をもつような定数$m$の値の範囲を求めなさい．
(1)$C_1$を原点に関して対称移動した後，さらに$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-m$だけ平行移動した放物線を$C_2$とするとき，放物線$C_2$の方程式を求めなさい．
(2)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$がともに，$x$軸と共有点をもつような定数$m$の値の範囲を求めなさい．
国立 鳴門教育大学 2015年 第4問方程式$29x+33y=1$について，次の問いに答えなさい．
(1)整数解をすべて求めなさい．
(2)整数解$x,\ y$のうち，$|\displaystyle\frac{x|{y}}$が最大となる$x,\ y$を求めなさい．
(1)整数解をすべて求めなさい．
(2)整数解$x,\ y$のうち，$|\displaystyle\frac{x|{y}}$が最大となる$x,\ y$を求めなさい．
国立 滋賀医科大学 2015年 第1問$a$を定数とする．$x>0$における関数
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．
(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．
(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 滋賀医科大学 2015年 第3問$a$を$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{2}$をみたす定数とし，方程式
\[ x(1-\cos x)=\sin (x+a) \]
を考える．
(1)$n$を正の整数とするとき，上の方程式は$\displaystyle 2n \pi<x<2n \pi+\frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつことを示せ．
(2)$(1)$の解を$x_n$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n-2n \pi)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(x_n-2n \pi)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$を用いてよい．
\[ x(1-\cos x)=\sin (x+a) \]
を考える．
(1)$n$を正の整数とするとき，上の方程式は$\displaystyle 2n \pi<x<2n \pi+\frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつことを示せ．
(2)$(1)$の解を$x_n$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n-2n \pi)$を求めよ．
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt{n}(x_n-2n \pi)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$を用いてよい．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$は正の実数で，$a \neq 1$，$c \neq 1$とするとき，$\displaystyle \log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．ただし，必要ならば，$\log_p M^r=r \log_p M$（$p>0$，$p \neq 1$，$M>0$，$r$は実数）を用いてよい．
(2)方程式$\log_4 (x+3)=\log_2 x-1$を解け．
(3)方程式$\log_4 (x+k)=\log_2 x-1$が解を持つような実数$k$の範囲を求めよ．
国立 三重大学 2015年 第4問正の実数$a$に対し，$y=a \log x (x>0)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$(2,\ a \log 2)$における接線を$\ell$とするとき，$\ell$と$x$軸とのなす角が${30}^\circ$であった．以下の問いに答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式，および$\ell$と$x$軸との交点を求めよ．
(3)$\ell$と$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式，および$\ell$と$x$軸との交点を求めよ．
(3)$\ell$と$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 和歌山大学 2015年 第4問放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$と点$\mathrm{P}(0,\ -4)$がある．直線$\ell,\ m,\ n$と点$\mathrm{Q}$を以下のように定める．
直線$\ell$は，$\mathrm{P}$から$C$に引いた接線のうち，傾きが正のものとし，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
直線$m$は，$\mathrm{Q}$を通り，$\ell$に垂直なものとする．
直線$n$は，$m$と$C$の$\mathrm{Q}$以外の交点を通り，$y$軸に平行なものとする．
次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$m$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸および直線$n$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
直線$\ell$は，$\mathrm{P}$から$C$に引いた接線のうち，傾きが正のものとし，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
直線$m$は，$\mathrm{Q}$を通り，$\ell$に垂直なものとする．
直線$n$は，$m$と$C$の$\mathrm{Q}$以外の交点を通り，$y$軸に平行なものとする．
次の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$m$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸および直線$n$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．