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国立 千葉大学 2015年 第4問$m$を実数とする．$x$に関する方程式
\[ x^3-3x-|x-m|=0 \]
の実数解の個数を求めよ．
\[ x^3-3x-|x-m|=0 \]
の実数解の個数を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第6問$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
国立 千葉大学 2015年 第1問$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
国立 千葉大学 2015年 第1問$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
国立 千葉大学 2015年 第2問$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
国立 小樽商科大学 2015年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$n^2-92n+2015 \leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$[$(\mathrm{a])$}$個である．
(2)方程式$\log_x (x^3+2)=\log_x x(2x+1)$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)下図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{BCD}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{DAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{DBC}=\beta$，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x,\ \alpha,\ \beta$で表すと$h=[$(\mathrm{c])$}$である．
（図は省略）
(1)$n^2-92n+2015 \leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$[$(\mathrm{a])$}$個である．
(2)方程式$\log_x (x^3+2)=\log_x x(2x+1)$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)下図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{BCD}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{DAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{DBC}=\beta$，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x,\ \alpha,\ \beta$で表すと$h=[$(\mathrm{c])$}$である．
（図は省略）
国立 愛媛大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ．
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$，$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．
(1)不定積分$\displaystyle \int x^3e^{x^2} \, dx$を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^e |\log x| \, dx$を求めよ．
(3)楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$上の点$(\sqrt{2},\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(4)$\displaystyle \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^3$からその整数部分を引いた値を$a$とするとき，$a^4+5a^3+4a^2+4a$の値を求めよ．
(5)実数$a,\ b,\ c$は$0<a<b<c$，$\displaystyle \frac{1}{b}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right)$をみたすとする．このとき，$|b-a|<|b-c|$が成り立つことを示せ．
国立 福岡教育大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$a$を定数とし，$1<a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
が異なる$3$つの実数解をもつとき，その$3$つの実数解をすべて求めよ．
(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$a$を定数とし，$1<a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
が異なる$3$つの実数解をもつとき，その$3$つの実数解をすべて求めよ．
国立 福岡教育大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$a$を定数とし，$a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
の異なる実数解の個数を求めよ．
(1)$x$がすべての実数を動くとき，$2^x+2^{-x}$の最小値を$m$とする．次の（ア），（イ）に答えよ．
\mon[（ア）] $m$の値を求め，$2^x+2^{-x}=m$を満たす$x$を求めよ．
\mon[（イ）] $k>m$のとき，$2^x+2^{-x}=k$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$a$を定数とし，$a \leqq 2$とする．方程式
\[ 4^x+4^{-x}-3a \cdot 2^x-3a \cdot 2^{-x}+2(a^2+1)=0 \]
の異なる実数解の個数を求めよ．
国立 富山大学 2015年 第1問$m$を実数とする．方程式
\[ mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$xy$平面において，方程式$(*)$が表す図形は$2$直線であることを示せ．
(2)$(1)$で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)$m$が$-1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき，$(1)$で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．
\[ mx^2-my^2+(1-m^2)xy+5(1+m^2)y-25m=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$xy$平面において，方程式$(*)$が表す図形は$2$直線であることを示せ．
(2)$(1)$で求めた$2$直線は$m$の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3)$m$が$-1 \leqq m \leqq 3$の範囲を動くとき，$(1)$で求めた$2$直線の交点の軌跡を図示せよ．