$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，頂点が$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{7}{2} \right)$で，点$(3,\ 1)$を通る．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線のうち，傾きが$4$となるものの方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線に平行で点$(2,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=f(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)直線$\ell$と放物線$y=f(x)$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$C:y=x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)点$(1,\ 1)$を通り傾きが$a$である直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と放物線$C$の共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡の方程式を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が一致するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点とは$\mathrm{P}$を意味するものとする．
(4)$(3)$で求めた軌跡，放物線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^x$と直線$\ell:y=x$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$を通り，直線$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と直線$\ell$との交点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$t$で表せ．
(4)$(3)$で求めた距離の最小値を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[カ]$を適当に補え．

(1)円$x^2+y^2=3$と直線$x-y+k=0$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，方程式$\cos 2x=5 \sin x-2$を解くと$x=[イ]$である．
(3)$t$を実数とする．$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-2tx+t$の最小値を$k$とする．$k$を最大にする$t$の値は$t=[ウ]$であり，そのときの$k$の値は$k=[エ]$である．
(4)$f(x)=x^3+3x^2$，$g(x)=2x^2$とする．$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$平行移動して得られるグラフの方程式を，$y=h(x)$とする．このとき，$y=h(x)$のグラフと$y=f(x)$のグラフの交点のうち，$x$座標の最も大きいものは$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．

次の空欄$[$\mathrm{(a)]$}$～$[$\mathrm{(g)]$}$を適当に補え．

(1)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}},\ y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$のとき，$x+y$の値は$[$\mathrm{(a)]$}$である．
(2)$2$次方程式$2x^2+3x+k=0$において，$2$つの解の比が$1:2$であるとき，定数$k$の値は$[$\mathrm{(b)]$}$である．
(3)${64}^{1.5} \times {32}^{-0.4}=[$\mathrm{(c)]$}$である．
(4)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=2$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2 \sqrt{2}$を満たすとき，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=[$\mathrm{(d)]$}$である．
(5)$\displaystyle \left( 2x-\frac{1}{4} \right)^{10}$の展開式における$x^6$の係数は$[$\mathrm{(e)]$}$である．
(6)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，関数$y=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta+2$の最小値は$[$\mathrm{(f)]$}$であり，そのときの$\theta$の値は$[$\mathrm{(g)]$}$である．

次の各問いに答えよ．

(1)方程式$x^2-x-8=|x|$を解け．
(2)$xy+3x-y-3=5$を満たす整数$x,\ y$の組を求めよ．
(3)$1$日の天気を晴れ，曇り，雨の$3$通りだとする．$4$日間で，晴れの日がちょうど$2$日ある場合は何通りあるか．

次の$[　]$に適する答を記入せよ．

(1)等式$xy+3x-y-3=5$を満たす自然数$x,\ y$は$x=[　]$，$y=[　]$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$2$点$\mathrm{A}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{B}(\cos 2\theta,\ \sin 2\theta) (0 \leqq \theta \leqq \pi)$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になるのは$\theta=[　]$のときであり，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=1$となるのは$\theta=[　]$のときである．
(3)$a,\ b$を実数の定数とする．方程式$x^3+ax+b=0$の$1$つの解が$1+\sqrt{2}i$であるとき，$a=[　]$である．また，この方程式の実数解は$[　]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めよ．

$0<p<2$をみたす実数$p$に対して，頂点が$(p,\ -p^2)$で点$(2,\ 0)$を通り軸が$y$軸に平行な放物線がある．

(1)この放物線の方程式を$p$を使って表すと$y=[　]$となる．
(2)この放物線と$x$軸で囲まれる領域の面積を$p$を用いて表すと$[　]$である．
(3)この放物線と$x$軸で囲まれる領域の面積が最大になるときの$p$の値は$[　]$であり，そのときの面積は$[　]$である．

$a \neq 0$で$b^2-4ac \geqq 0$とするとき，$2$次方程式
\[ ax^2+bx+c=0 \]
の解$x$を与える公式
\[ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
を導きなさい．

実数$a,\ b,\ c,\ d$に対し$x$の3次の整式$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$を考える．ただし，$ad \neq 0$とする．方程式$P(x) = 0$の3つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とすると$P(x) =a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$であることが知られている．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)積$\alpha \beta \gamma$，和$\alpha+ \beta + \gamma$，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を，それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)もし$\alpha$が実数でないならば，方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい．
(3)解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(4)もし$ad > 0$ならば，解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．