$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$\displaystyle \left( \frac{1}{9} \right)^x-4 \left( \frac{1}{3} \right)^{x-1}+27 \leqq 0$を満たす$x$の範囲は$[ア]$であり， \\
$\log_2 \left( \log_5 (x+1)+\log_5 (x+3) \right)<1$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(2)整式$P(x)$を$(x+1)(x-2)$で割ると余りは$2x+9$，$(x+1)(x+2)$で割ると余りは$-10x-3$になる．このとき$P(x)$を$(x+1)(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[ウ]$となる．また，$P(x)$を$(x-2)(x+2)$で割ると，余りは$[エ]$となる．
(3)関数$f(x)=x^3+3ax^2+b (b>0)$があり，方程式$f(x)=0$は$3$つの異なる実数解をもつ．このとき，実数$a$と$b$が満たす関係は$[オ]$であり，$f(x) \leqq f(0)$となる$x$の範囲は$[カ]$である．
(4)面積が$S$の正方形がある．この正方形の$4$辺をそれぞれ$1:3$に内分する点をとり，これら$4$つの内分点を頂点とする新たな正方形をつくる．この操作によってできる新たな正方形の面積は$[キ]$である．新たにできた正方形に同じ操作をほどこして，さらに新しい正方形をつくる．この操作を少なくとも$[ク]$回おこなうと，最後にできた正方形の面積が$\displaystyle \frac{1}{100}S$以下になる．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(5)放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をとり，$\mathrm{A}$における接線を$\ell$とする．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a,\ b$とし，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点$\mathrm{P}$をとる（$0<t<1$）．$\mathrm{P}$を通り$y$軸と平行な直線が，$\ell$と交わる点を$\mathrm{Q}$，放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{QR}$の長さは$[ケ]$であり，$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=[コ]$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$(1,\ 1)$を点$(5,\ 5)$に，点$(1,\ -7)$を点$(-3,\ 21)$に移す$1$次変換を$f$とする．$f$による点$\mathrm{P}$の像を点$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{P}$に対して内積の条件
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0 (*) \]
を考える．

(1)$f$を表す行列を求めよ．
(2)条件$(*)$を満たす点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$2$直線となる．この$2$直線の方程式を求めよ．
実数$a \geqq 0$に対して，
「点$(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円周上の点$\mathrm{P}$で，条件$(*)$を満たすものがちょうど$2$つある」 $(**)$
とする．この$2$点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とするとき，$i=1,\ 2$に対して，$\mathrm{P}_i$の$f$による像を$\mathrm{Q}_i$とし，$\triangle \mathrm{OP}_i \mathrm{Q}_i$の面積を$S_i$とする．
(3)上の条件$(**)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$S_i$を$y_i$を用いて表せ．また，和$S_1+S_2$の値を$a$を用いて表せ．

つぎの問いに答えなさい．

(1)$3$次方程式$x^3-6x+5=0$を解きなさい．
(2)$3$次方程式$x^3-6x+k=0$が$3$つの相異なる実数解を持つための定数$k$の値の範囲を求めなさい．

大中小$3$つのサイコロを振って，出た目をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$2$次方程式
\[ ax^2+bx+c=0 \]
が実数解をもつ確率を求めよ．

$a$を実数とする．方程式
\[ \cos^2 x-2a \sin x-a+3=0 \]
の解で$0 \leqq x<2\pi$の範囲にあるものの個数を求めよ．

$0 \leqq t<2\pi$に対して，$2$次方程式
\[ x^2+(\sin t-2)x+\sin 2t-\sin t=0 \]
を考える．

(1)すべての$t$に対して方程式は相異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．
(2)方程式が$2$つの正の実数解をもつための$t$の範囲を求めよ．

$x^3=1$の解のうち，虚数であるものの$1$つを$\omega$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{[ナ]}=-\frac{2}{3}$である．

(2)$\omega$に共役な複素数を$\overline{\omega}$とするとき，$(\overline{\omega}^4+3 \omega+1)(\omega^4+\overline{\omega}+3)=[ニ] \omega$である．
(3)$\omega+1$および$\overline{\omega}+1$を解とする$x$の$2$次方程式の$1$つは$x^2+[ヌネ]x+[ノ]=0$である．

原点を$\mathrm{O}$とし，下図のように$3$つの円$C_1$，$C_2$，$C_3$が互いに接している．$C_2$の中心を$\mathrm{O}_2$，$C_1$と$C_2$の接点を$\mathrm{P}$，$C_2$と$C_3$の接点を$\mathrm{Q}$，$C_3$と$C_1$の接点を$\mathrm{R}$とする．$C_1$と$C_2$の方程式が
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle C_3:(x-[シ])^2+y^2=\left( \frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \right)^2$である．
(2)弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし，他の弧についても同様とする．また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする．このとき，扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は
\[ \frac{[タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツテ]}\pi \]
であることより，$3$つの弧$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$で囲まれる図形（図の斜線部）の面積は
\[ \frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}-\frac{[ニ]-[ヌ] \sqrt{[ネ]}}{[ノ]} \pi \]
である．

実数$A,\ B,\ C$を係数とする$3$次方程式
\[ x^3+Ax^2-B^2x+C=0 \]
は$3$つの互いに異なる実数解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$をもち，$\alpha \beta \gamma \neq 0$である．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$A,\ B,\ C$を用いて$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$を表せ．
(2)$A,\ B,\ C$を用いて$\displaystyle \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}$を表せ．

$f(x)=x^2+x+1$とおく．曲線$y=f(x)$に原点から引いた接線の方程式を$y=mx$，$y=m^\prime x (m<m^\prime)$とおく．また，それぞれの接点の$x$座標を$c,\ c^\prime$とおく．このとき，$c<0<c^\prime$である．実数$a$に対して連立不等式
\[ y \leqq f(x),\quad y \geqq mx,\quad y \geqq m^\prime x,\quad a \leqq x \leqq a+1 \]
の表す領域の面積を$S(a)$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)定数$m,\ m^\prime,\ c,\ c^\prime$を求めよ．
(2)$0<a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$c \leqq a \leqq 0$のとき，$S(a)$を求めよ．
(4)$c \leqq a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$の最大値と最小値を求めよ．