「方程式」について
タグ「方程式」の検索結果
(11ページ目:全1641問中101問~110問を表示)![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
座標平面上において,円$C:x^2-4x+y^2+6y-12=0$上の点$(5,\ 1)$における接線を$\ell_1$とし,点$(1,\ -1)$を通り,直線$\ell_1$に垂直な直線を$\ell_2$とする.次の各問に答えよ.
(1)$2$直線$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ.
(2)直線$\ell_2$が円$C$によって切り取られてできる線分の長さを求めよ.
(1)$2$直線$\ell_1$と$\ell_2$の方程式を求めよ.
(2)直線$\ell_2$が円$C$によって切り取られてできる線分の長さを求めよ.
![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
$m$を実数とする.$2$つの関数
\[ f(x)=2 |x(x-3)|,\quad g(x)=mx+\frac{1}{2} \]
について,次の各問に答えよ.
(1)方程式$f(x)=g(x)$が異なる$3$つの実数解をもつときの$m$の値をすべて求めよ.
(2)$m$は$(1)$で求めた値のうち最大のものとする.関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ.
\[ f(x)=2 |x(x-3)|,\quad g(x)=mx+\frac{1}{2} \]
について,次の各問に答えよ.
(1)方程式$f(x)=g(x)$が異なる$3$つの実数解をもつときの$m$の値をすべて求めよ.
(2)$m$は$(1)$で求めた値のうち最大のものとする.関数$y=f(x)$のグラフと関数$y=g(x)$のグラフで囲まれる部分の面積を求めよ.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし,直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある.$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき,以下の問いに答えよ.ただし,$k$は正の定数とする.
(1)双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3)$k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
(1)双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3)$k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
以下の問いに答えよ.
(1)方程式$65x+31y=1$の整数解をすべて求めよ.
(2)$65x+31y=2016$を満たす正の整数の組$(x,\ y)$を求めよ.
(3)$2016$以上の整数$m$は,正の整数$x,\ y$を用いて$m=65x+31y$と表せることを示せ.
(1)方程式$65x+31y=1$の整数解をすべて求めよ.
(2)$65x+31y=2016$を満たす正の整数の組$(x,\ y)$を求めよ.
(3)$2016$以上の整数$m$は,正の整数$x,\ y$を用いて$m=65x+31y$と表せることを示せ.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
$a$を正の定数とし,$f(x)=(x+a) \log x$とする.曲線$C:y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における接線$\ell$が原点を通るとき,以下の問いに答えよ.
(1)$a$の値と,接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と$x$軸,および接線$\ell$とで囲まれた図形を,$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき,関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ.
(1)$a$の値と,接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)曲線$C$と$x$軸,および接線$\ell$とで囲まれた図形を,$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
(3)定数$k$が$\displaystyle k \geqq \frac{1}{a}$を満たすとき,関数$g(x)=(x+k) \log x$は極値を持たないことを示せ.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
$f(x)=x^3$,$g(x)=x^3-4$とし,曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$の両方に接する直線を$\ell$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\ell$と$C_1$との接点を$\mathrm{P}$,$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$C_1$とが$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ.
(3)$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
(1)直線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$\ell$と$C_1$との接点を$\mathrm{P}$,$\ell$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$,$\ell$と$C_1$とが$\mathrm{P}$以外で交わる点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{QR}$の長さの比$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}$を求めよ.
(3)$C_2$と$\ell$とで囲まれた部分の面積$S$を求めよ.
![福井大学](./img/univ/fukui.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし,直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある.ただし,$k>0$とする.$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り,$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち,傾きが正のものを$m$,傾きが負のものを$m^\prime$とする.$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$,$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし,四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の座標を,$a,\ b,\ k$を用いて表せ.
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ.
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ.
(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の座標を,$a,\ b,\ k$を用いて表せ.
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ.
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ.
![日本医科大学](./img/univ/nihonika.png)
座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$,$\mathrm{Q}(t-5,\ t^2-4t+2)$に対して,$t$が$1 \leqq t \leqq 3$の範囲を動くとき,以下の各問いに答えよ.
(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を,$t$を用いて表せ(答えのみでよい).
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め,図示せよ.
(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を,$t$を用いて表せ(答えのみでよい).
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め,図示せよ.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
次の空欄$[ア]$~$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ.
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である.
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である.同時に$2$本のくじを引いたとき,$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった.このとき,$n=[イ]$である.
(3)$\mathrm{AB}=20$,$\mathrm{BC}=24$,$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする.このとき,$\mathrm{BD}=[ウ]$である.
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について,$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき,$a=[エ]$,$b=[オ]$である.ただし,$a$と$b$は実数とする.
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると,$x=[カ]$,$y=[キ]$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である.このとき,直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると,$a=[ク]$,$b=[ケ]$である.
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である.
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で,関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである.
(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で,$\cos^2 \theta+\sin \theta \cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると$\theta=[ア]$である.
(2)$10$本のくじのうち当たりくじは$n$本である.同時に$2$本のくじを引いたとき,$2$本ともはずれである確率は$\displaystyle \frac{1}{15}$であった.このとき,$n=[イ]$である.
(3)$\mathrm{AB}=20$,$\mathrm{BC}=24$,$\mathrm{AC}=16$である三角形$\mathrm{ABC}$において,$\angle \mathrm{A}$の二等分線が$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とする.このとき,$\mathrm{BD}=[ウ]$である.
(4)頂点が反時計回りに$\mathrm{ABCDEF}$である正六角形について,$\overrightarrow{\mathrm{FB}}=a \overrightarrow{\mathrm{AB}}+b \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表したとき,$a=[エ]$,$b=[オ]$である.ただし,$a$と$b$は実数とする.
(5)$(3+i)(x+yi)=6+5i$を満たす実数$x,\ y$を求めると,$x=[カ]$,$y=[キ]$である.ただし,$i$は虚数単位とする.
(6)直線$\ell$に関して点$(3,\ 2)$と対称な点は$(1,\ 4)$である.このとき,直線$\ell$の方程式を$ax+by=1$とすると,$a=[ク]$,$b=[ケ]$である.
(7)$975$の正の約数の個数は$[コ]$個である.
(8)$-1 \leqq x \leqq 5$の範囲で,関数$\displaystyle f(x)=\int_{-3}^x (t^2-2t-3) \, dt$が最小値をとるのは$x=[サ]$のときである.
![立教大学](./img/univ/rikkyo.png)
放物線$C:y=x^2$と直線$\ell:y=kx+k (k>0)$に対し,放物線$C$と直線$\ell$の$2$個の交点を$\mathrm{A}(a,\ a^2)$,$\mathrm{B}(b,\ b^2) (a<b)$とする.さらに,点$\mathrm{A}$における放物線$C$の接線を$m_1$,点$\mathrm{B}$における放物線$C$の接線を$m_2$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)直線$m_1$の方程式を$a$を用いて表せ.また,直線$m_2$の方程式を$b$を用いて表せ.
(2)$a$と$b$をそれぞれ$k$を用いて表せ.
(3)$2$つの直線$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{D}(p,\ q)$とするとき,$p$と$q$のそれぞれを$k$を用いて表せ.
(4)放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$T$を$k$を用いて表せ.
(5)$2$点$\mathrm{E}(a,\ q)$,$\mathrm{F}(b,\ q)$をとる.三角形$\mathrm{AED}$と三角形$\mathrm{BFD}$の面積の和$S$を$k$を用いて表せ.また$\displaystyle \frac{S}{T}$を求めよ.
(1)直線$m_1$の方程式を$a$を用いて表せ.また,直線$m_2$の方程式を$b$を用いて表せ.
(2)$a$と$b$をそれぞれ$k$を用いて表せ.
(3)$2$つの直線$m_1$と$m_2$の交点を$\mathrm{D}(p,\ q)$とするとき,$p$と$q$のそれぞれを$k$を用いて表せ.
(4)放物線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積$T$を$k$を用いて表せ.
(5)$2$点$\mathrm{E}(a,\ q)$,$\mathrm{F}(b,\ q)$をとる.三角形$\mathrm{AED}$と三角形$\mathrm{BFD}$の面積の和$S$を$k$を用いて表せ.また$\displaystyle \frac{S}{T}$を求めよ.