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国立 埼玉大学 2011年 第3問ある袋に10と書かれた2枚のカードと 5と書かれた3枚のカードが入っている．この袋の中をよくかきまぜてから，カードを取り出す．以下の3つの方法で取り出した場合に，それぞれの期待値を求めなさい．
(1)この袋からカードを1枚取り出すとき，カードに書かれた数の期待値．
(2)この袋からカードを2枚取り出すとき，カードに書かれた数の合計の期待値．
(3)最初に，この袋からカードを2枚取り出す．2枚のカードに書かれた数が異なる場合には，次にそのまま続けて3枚目のカードを取り出す．一方，初めに取り出したカードに書かれた数が同じ場合には，そのうちの1枚のカードを袋に戻した後に，3枚目のカードを取り出すことにする．このとき，袋に戻したカードも含
めて，取り出した3枚のカードに書かれていた数の合計の期待値．
(1)この袋からカードを1枚取り出すとき，カードに書かれた数の期待値．
(2)この袋からカードを2枚取り出すとき，カードに書かれた数の合計の期待値．
(3)最初に，この袋からカードを2枚取り出す．2枚のカードに書かれた数が異なる場合には，次にそのまま続けて3枚目のカードを取り出す．一方，初めに取り出したカードに書かれた数が同じ場合には，そのうちの1枚のカードを袋に戻した後に，3枚目のカードを取り出すことにする．このとき，袋に戻したカードも含
めて，取り出した3枚のカードに書かれていた数の合計の期待値．
国立 小樽商科大学 2011年 第3問次の[ ]の中を適当に補いなさい．
(1)$m>0$とする．放物線$y=x^2$と放物線$y=x(m-x)$とで囲まれた図形の面積$S$を$m$で表せば，$S=[ ]$．
(2)$\cos 2\theta-\cos \theta+1$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば，$(M,\ m)=[ ]$．
(3)10段の階段を1段ずつ，1段飛ばし，2段飛ばしの3種類の登り方を自由に使って登ることができるものとする．このとき，10段を登る方法は全部で[ ]通りある．
(1)$m>0$とする．放物線$y=x^2$と放物線$y=x(m-x)$とで囲まれた図形の面積$S$を$m$で表せば，$S=[ ]$．
(2)$\cos 2\theta-\cos \theta+1$の最大値を$M$，最小値を$m$とすれば，$(M,\ m)=[ ]$．
(3)10段の階段を1段ずつ，1段飛ばし，2段飛ばしの3種類の登り方を自由に使って登ることができるものとする．このとき，10段を登る方法は全部で[ ]通りある．
国立 島根大学 2011年 第3問$U=\{k \; | \; k\text{は自然数，}\ 1 \leqq k \leqq 25 \}$を全体集合とし，$U$の部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)$m$と$n$を自然数とし，2次方程式
\[ (*) \quad x^2-mx+n=0 \]
が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，2次方程式$(*)$は1を解としてもつことを証明せよ．
(3)$m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする．このとき，2次方程式$(*)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)$m$と$n$を自然数とし，2次方程式
\[ (*) \quad x^2-mx+n=0 \]
が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，2次方程式$(*)$は1を解としてもつことを証明せよ．
(3)$m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする．このとき，2次方程式$(*)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．
私立 名城大学 2011年 第2問次の問に答えよ．
(1)始発$\mathrm{A}$駅から終着$\mathrm{H}$駅まで両端の駅を含み$8$駅ある観光鉄道を考える．$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅まで，$1$日$3$本の異なるイベント列車が運行される．すべてのイベント列車に，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車して，$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとする．
（図は省略）
(2)$(1)$の場合で，すべての列車に乗車する必要はないとすれば，乗り換えを含めて$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車とする．
(3)$7$駅ある環状鉄道で，$3$本のイベント列車が運行される．乗車するとスタンプが押せる．$3$本のイベント列車に各$1$回ずつ乗車し，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車してスタンプを集める場合，乗車駅$\mathrm{A}$から$1$周して元の乗車駅$\mathrm{A}$で降車する方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとし，乗る順番も区別するものとする．
（図は省略）
(1)始発$\mathrm{A}$駅から終着$\mathrm{H}$駅まで両端の駅を含み$8$駅ある観光鉄道を考える．$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅まで，$1$日$3$本の異なるイベント列車が運行される．すべてのイベント列車に，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車して，$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとする．
（図は省略）
(2)$(1)$の場合で，すべての列車に乗車する必要はないとすれば，乗り換えを含めて$\mathrm{A}$駅から$\mathrm{H}$駅へ至る方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車とする．
(3)$7$駅ある環状鉄道で，$3$本のイベント列車が運行される．乗車するとスタンプが押せる．$3$本のイベント列車に各$1$回ずつ乗車し，それぞれ少なくとも$1$区間以上乗車してスタンプを集める場合，乗車駅$\mathrm{A}$から$1$周して元の乗車駅$\mathrm{A}$で降車する方法は何通りあるか．列車はすべて各駅停車であり，追い越しは起こらないものとし，乗る順番も区別するものとする．
（図は省略）
私立 広島修道大学 2011年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[ ]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．
(1)円$x^2+y^2=30$上の点$\mathrm{P}(5,\ \sqrt{5})$における接線の方程式は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{5x+3}{x^2+7x-18}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+9}$が$x$についての恒等式であるとき，$a=[$2$]$，$b=[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{4},\ \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$であるとき，$\sin \alpha \cos \beta$の値は$[$4$]$，$\cos \alpha \sin \beta$の値は$[$5$]$，$\sin^2 \alpha+\cos^2 \beta$の値は$[$6$]$である．
(4)$7$人が円形のテーブルに着席する方法は$[$7$]$通りある．
(5)さいころ$3$個を同時に投げるとき，そのうち同じ目が出るさいころが$2$個だけである確率は，$[$8$]$である．また，さいころ$4$個を同時に投げるとき，少なくとも$2$個のさいころが同じ目である確率は，$[$9$]$である．
(6)連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt{x}+2 \log_{10}y=3 \\
x-3 \log_{10}y^2=1 \phantom{e^{[ ]}}
\end{array} \right. \]
を満たす$x,\ y$の値は$x=[$10$]$，$y=[$11$]$である．
公立 三重県立看護大学 2011年 第1問次の$(1)$から$(8)$に答えなさい．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．
国立 山梨大学 2010年 第3問$xy$平面上に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(2,\ 1)$がある．次の方法により，$\mathrm{A}_n(x_n,\ 0)$，$\mathrm{B}_n(0,\ y_n) \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．$\mathrm{A}_1$を$\mathrm{A}_1(6,\ 0)$とする．直線$\mathrm{A}_1 \mathrm{P}$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}_1(0,\ y_1)$とし，直線$\mathrm{B}_1 \mathrm{Q}$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_2(x_2,\ 0)$とする．同様に直線$\mathrm{A}_2 \mathrm{P}$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}_2(0,\ y_2)$とし，直線$\mathrm{B}_2 \mathrm{Q}$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}_3(x_3,\ 0)$とする．以下，これを繰り返す．
(1)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{P}$の方程式を$x_n$を用いて表せ．また，直線$\mathrm{B}_n \mathrm{Q}$の方程式を$y_n$を用いて表せ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle z_n=\frac{1}{x_n}$とおくとき，$z_n$を求めることにより，$x_n$を$n$の式で表せ．
(1)直線$\mathrm{A}_n \mathrm{P}$の方程式を$x_n$を用いて表せ．また，直線$\mathrm{B}_n \mathrm{Q}$の方程式を$y_n$を用いて表せ．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle z_n=\frac{1}{x_n}$とおくとき，$z_n$を求めることにより，$x_n$を$n$の式で表せ．
私立 早稲田大学 2010年 第1問次の[\phantom{ア]}にあてはまる数，数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．
(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．
私立 早稲田大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$8$名のクラスのうち，$3$名が男子学生，$5$名が女子学生とする．グループ研究を課すことになり，クラスを$3$つのグループに分けるとする．ただし，それぞれのグループの人数は$2$人以上，$4$人以下とする．
(i) 学生の性別に関係なくグループ分けをする方法は
\[ [ハ][ヒ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 男子学生のみ，あるいは女子学生のみで構成されるグループを含まないグループ分けの方法は
\[ [フ][ヘ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(2)$7$つの異なる映画を$4$回上映する場合を考える．ただし，$1$回の上映に$1$つの映画を上映し，上映する順番は区別しないこととする．
(i) 同じ映画が複数回上映されない場合，上映する場合の数は
\[ [ホ][$5$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 同じ映画を複数回上映してもよい場合，上映する場合の数は
\[ [マ][ミ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(1)$8$名のクラスのうち，$3$名が男子学生，$5$名が女子学生とする．グループ研究を課すことになり，クラスを$3$つのグループに分けるとする．ただし，それぞれのグループの人数は$2$人以上，$4$人以下とする．
(i) 学生の性別に関係なくグループ分けをする方法は
\[ [ハ][ヒ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 男子学生のみ，あるいは女子学生のみで構成されるグループを含まないグループ分けの方法は
\[ [フ][ヘ][$0$] \text{通り} \]
ある．
(2)$7$つの異なる映画を$4$回上映する場合を考える．ただし，$1$回の上映に$1$つの映画を上映し，上映する順番は区別しないこととする．
(i) 同じ映画が複数回上映されない場合，上映する場合の数は
\[ [ホ][$5$] \text{通り} \]
ある．
(ii) 同じ映画を複数回上映してもよい場合，上映する場合の数は
\[ [マ][ミ][$0$] \text{通り} \]
ある．