「整数」について
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国立 富山大学 2016年 第1問関数$f(x),\ g(x)$に対して，$\displaystyle h(x)=\int_0^x f(x-t)g(t) \, dt$で定義される関数$h(x)$を$(f * g)(x)$と書くことにする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$(f * g)(x)=(g * f)(x)$が成り立つことを示せ．
(2)$g(x)=e^{-x}$とし，関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を
\[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} * g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定義する．
(i) 整数$n$が$2$以上のとき，${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ii) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき，$3$以上の整数$n$に対して，${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(iii) $h_n(x)$を求めよ．
(1)$(f * g)(x)=(g * f)(x)$が成り立つことを示せ．
(2)$g(x)=e^{-x}$とし，関数$f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots$を
\[ f_1(x)=1-e^{-x},\quad f_n(x)=(f_{n-1} * g)(x) \quad (n=2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定義する．
(i) 整数$n$が$2$以上のとき，${f_n}^\prime(x)$を$f_n(x),\ f_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(ii) $h_n(x)=e^x {f_n}^\prime(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおくとき，$3$以上の整数$n$に対して，${h_n}^\prime(x)$を$h_{n-1}(x)$を用いて表せ．
(iii) $h_n(x)$を求めよ．
国立 富山大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)素数$p$に対して，$\sqrt{p}$は無理数であることを示せ．
(2)$p,\ q$を異なる素数とする．このとき，整数$k,\ m,\ n$が
\[ k+m \sqrt{p}+n \sqrt{q}=0 \]
を満たすならば，$k=0$，$m=0$，$n=0$であることを示せ．
(1)素数$p$に対して，$\sqrt{p}$は無理数であることを示せ．
(2)$p,\ q$を異なる素数とする．このとき，整数$k,\ m,\ n$が
\[ k+m \sqrt{p}+n \sqrt{q}=0 \]
を満たすならば，$k=0$，$m=0$，$n=0$であることを示せ．
国立 富山大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．
(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．
(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．
国立 富山大学 2016年 第2問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．
国立 茨城大学 2016年 第3問$n$を正の整数とする．座標平面上において，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
y \leqq x+n(n+1)
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．
(1)領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が正であるものの個数$M$を$n$を用いて表せ．
(2)領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が負であるものの個数を$N$とする．$(1)$で求めた$M$に対して$M-N \geqq 1000$となるような最小の$n$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \geqq x^2 \\
y \leqq x+n(n+1)
\end{array} \right. \]
の表す領域を$D$とする．次の各問に答えよ．
(1)領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が正であるものの個数$M$を$n$を用いて表せ．
(2)領域$D$内の，$x$座標と$y$座標がともに整数である点のうち，$x$座標が負であるものの個数を$N$とする．$(1)$で求めた$M$に対して$M-N \geqq 1000$となるような最小の$n$を求めよ．
国立 福井大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)方程式$65x+31y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)$65x+31y=2016$を満たす正の整数の組$(x,\ y)$を求めよ．
(3)$2016$以上の整数$m$は，正の整数$x,\ y$を用いて$m=65x+31y$と表せることを示せ．
(1)方程式$65x+31y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)$65x+31y=2016$を満たす正の整数の組$(x,\ y)$を求めよ．
(3)$2016$以上の整数$m$は，正の整数$x,\ y$を用いて$m=65x+31y$と表せることを示せ．
国立 福井大学 2016年 第3問表の出る確率が$r$，裏の出る確率が$1-r$であるコインがある．このコインを繰り返し投げ，表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する．ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし，$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p_n$を求めよ．
(2)$q_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき，$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(1)$p_n$を求めよ．
(2)$q_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき，$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
国立 福井大学 2016年 第4問表の出る確率が$r$，裏の出る確率が$1-r$であるコインがある．このコインを繰り返し投げ，表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する．ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし，$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p_n$を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty np_n$の和を求めよ．ただし，$0 \leqq s<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ns^n=0$であることを用いてもよい．
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき，$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(1)$p_n$を求めよ．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty np_n$の和を求めよ．ただし，$0 \leqq s<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ns^n=0$であることを用いてもよい．
(3)$\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき，$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問$2$つの関数$f(x)=x^3-x^2-x+c$，$g(x)=4x+1$がある．$x$は$0 \leqq x \leqq a$を満たす．ただし，$a$は整数，$c$は実数とする．
$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$，$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は，$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，
(1)$a=[$24$]$である．
(2)$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である．
$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$，$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は，$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，
(1)$a=[$24$]$である．
(2)$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である．
私立 早稲田大学 2016年 第1問正の整数$m,\ n$に対して$f(m,\ n)$が次の等式を満たすように定められている．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(1,\ 1)=1,\quad f(2,\ 2)=6,\quad f(3,\ 3)=20 \\
f(m,\ n)=2f(m-1,\ n) \quad (m \geqq 2) \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
f(m,\ n)+3f(m,\ n-2)=3f(m,\ n-1)+f(m,\ n-3) \quad (n \geqq 4) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
次の問に答えよ．
(1)$f(m,\ 1)$および$f(1,\ n)$をそれぞれ$m,\ n$の式で表せ．
(2)$f(6,\ 32)$の値を求めよ．
(3)任意の正の整数$l$に対して，$f(m,\ n)=l$を満たす正の整数$m,\ n$が存在することを示せ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(1,\ 1)=1,\quad f(2,\ 2)=6,\quad f(3,\ 3)=20 \\
f(m,\ n)=2f(m-1,\ n) \quad (m \geqq 2) \phantom{\frac{[ ]}{2}} \\
f(m,\ n)+3f(m,\ n-2)=3f(m,\ n-1)+f(m,\ n-3) \quad (n \geqq 4) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
次の問に答えよ．
(1)$f(m,\ 1)$および$f(1,\ n)$をそれぞれ$m,\ n$の式で表せ．
(2)$f(6,\ 32)$の値を求めよ．
(3)任意の正の整数$l$に対して，$f(m,\ n)=l$を満たす正の整数$m,\ n$が存在することを示せ．