行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & 3 \\
1 & 2
\end{array} \right),\ P=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{3} & -\sqrt{3} \\
1 & 1
\end{array} \right)$に対して，$B=P^{-1}AP$とおく．また，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n,\ b_n$を
\[ \left( \begin{array}{c}
a_n \\
b_n 
\end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c}
2 \\
0
\end{array} \right) \]
で定める．次の問いに答えよ．

(1)$P^{-1}$および$B$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n$を求めよ．
(3)実数$x$を超えない最大の整数を$[ \; x \; ]$で表す．このとき
\[ \left[(2+\sqrt{3})^n \right] = a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を示せ．また
\[ c_n = (2+\sqrt{3})^n - \left[ (2+\sqrt{3})^n \right] \]
とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$の値を求めよ．

$p$，$q$を2つの正の整数とする．整数$a$，$b$，$c$で条件
\[
-q\leqq b\leqq0\leqq a\leqq p,\quad b\leqq c\leqq a
\]
を満たすものを考え，このような$a$，$b$，$c$を$[a,\ b\ ;\ c]$の形に並べたものを$(p,\ q)$パターンと呼ぶ．各$(p,\ q)$パターン$[a,\ b\ ;\ c]$に対して
\[
w([a,\ b\ ;\ c])=p-q-(a+b)
\]
とおく．

(1)$(p,\ q)$パターンのうち，$w([a,\ b\ ;\ c])=-q$となるものの個数を求めよ．また，$w([a,\ b\ ;\ c])=p$となる$(p,\ q)$パターンの個数を求めよ．\\
以下$p=q$の場合を考える．
(2)$s$を$p$以下の整数とする．$(p,\ p)$パターンで$w([a,\ b\ ;\ c])=-p+s$となるものの個数を求めよ．

$n$を$3$以上の整数とする．$2n$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n$から無作為に異なる$3$個の数を選ぶとき，次の問いに答えよ．

(1)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，公差$2$の等差数列である選び方は何通りあるか．
(2)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ．

$a,\ b$は$a \geqq b > 0$を満たす整数とし，$x$と$y$の2次方程式
\[ x^2+ax+b=0,\quad y^2+by+a=0 \]
がそれぞれ整数解をもつとする．

(1)$a=b$とするとき，条件を満たす整数$a$をすべて求めよ．
(2)$a>b$とするとき，条件を満たす整数の組$(a,\ b)$をすべて求めよ．

数字$1,\ 2,\ 3$を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(1)5桁の整数
(2)5桁の整数で2の倍数
(3)5桁の整数で3の倍数
(4)5桁の整数で4の倍数
(5)5桁の整数で6の倍数

数字$1,\ 2,\ 3$を使ってできる次のような整数の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．

(1)$5$桁の整数
(2)$5$桁の整数で$2$の倍数
(3)$5$桁の整数で$3$の倍数
(4)$5$桁の整数で$4$の倍数
(5)$5$桁の整数で$6$の倍数

$U=\{k \; | \; k\text{は自然数，}\ 1 \leqq k \leqq 25 \}$を全体集合とし，$U$の部分集合$A,\ B$を次のように定める．
\[ A=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は3の倍数} \},\quad B=\{k \; | \; k \in U \text{かつ} k \text{は4の倍数} \} \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)2つの集合$A \cap B,\ A \cup B$を，要素を書き並べる方法で表せ．
(2)$m$と$n$を自然数とし，2次方程式
\[ (*) \quad x^2-mx+n=0 \]
が整数解をもつとする．このとき，$n$が素数ならば，2次方程式$(*)$は1を解としてもつことを証明せよ．
(3)$m,\ n$を集合$\overline{A} \cap \overline{B}$の要素とする．このとき，2次方程式$(*)$の解がすべて2以上の整数となる$m$と$n$の組$(m,\ n)$をすべて求めよ．ただし，$\overline{A}$と$\overline{B}$は，それぞれ$A$と$B$の補集合を表す．

$p,\ q$を整数とする．2次方程式$x^2+px+q=0$が異なる2つの実数解$\alpha,\ \beta \ (\alpha < \beta)$を持ち，区間$[\,\alpha,\ \beta\,]$には，ちょうど2つの整数が含まれているとする．$\alpha$が整数でないとき，$\beta-\alpha$の値を求めなさい．

不等式$\log_3(x+1)+\log_3(x-1) \leqq \log_3y-1 \leqq \log_3(11-x)$を満たす整数の組$(x,\ y)$の個数を求めなさい．

$x,\ y$を整数とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$x^5-x$は$30$の倍数であることを示せ．
(2)$x^5y-xy^5$は$30$の倍数であることを示せ．