「整数」について
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国立 浜松医科大学 2016年 第3問以下の問いに答えよ．なお，必要があれば以下の極限値の公式を用いてもよい．
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]
(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(2)$a$を正の実数とし，$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える．
(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ．ただし$a \neq x$とする．
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]
(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(2)$a$を正の実数とし，$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える．
(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ．
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ．ただし$a \neq x$とする．
国立 宇都宮大学 2016年 第1問$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
国立 宇都宮大学 2016年 第1問$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
国立 宇都宮大学 2016年 第1問$p,\ q$を正の整数とする．数字$0$の書かれた$p$枚のカードと，数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える．このような列$X$に対して，$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ，左から$i$番目のカードの数字が$1$であり，左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
(1)$p=3$，$q=1$，$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき，$f(X)$を求めよ．
(2)$p=2$，$q=2$のとき，得られる列$X$をすべて求め，そのときの$f(X)$の値を求めよ．
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ．
国立 長崎大学 2016年 第1問半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
国立 岩手大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し，$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき，自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し，$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき，自然数$n$に対して，$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ．
国立 岩手大学 2016年 第3問次の問いに答えよ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
(1)ユークリッドの互除法を用いて，$89$と$29$の最大公約数を求めよ．
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ．
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち，正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする．このとき，自然数$m$に対して，$x_m$を$m$で表せ．
国立 富山大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(3)関数$y=x^{\sqrt{x}} (x>0)$の導関数を求めよ．
(1)$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(3)関数$y=x^{\sqrt{x}} (x>0)$の導関数を求めよ．
国立 富山大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．
(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ．
(2)$3$以上の整数$n$に対して，不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ．
国立 富山大学 2016年 第3問$n$を$1$以上の整数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\sqrt{n}$が有理数ならば，$\sqrt{n}$は整数であることを示せ．
(2)$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$が共に有理数であるような$n$は存在しないことを示せ．
(3)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無理数であることを示せ．
(1)$\sqrt{n}$が有理数ならば，$\sqrt{n}$は整数であることを示せ．
(2)$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$が共に有理数であるような$n$は存在しないことを示せ．
(3)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無理数であることを示せ．