「整数」について
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(8ページ目:全1020問中71問~80問を表示)![浜松医科大学](./img/univ/hamamatsuika.png)
以下の問いに答えよ.なお,必要があれば以下の極限値の公式を用いてもよい.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]
(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ.
(2)$a$を正の実数とし,$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える.
(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ.
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ.ただし$a \neq x$とする.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]
(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ.
(2)$a$を正の実数とし,$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える.
(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ.
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ.ただし$a \neq x$とする.
![宇都宮大学](./img/univ/utsunomiya.png)
$p,\ q$を正の整数とする.数字$0$の書かれた$p$枚のカードと,数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える.このような列$X$に対して,$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ,左から$i$番目のカードの数字が$1$であり,左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$p=3$,$q=1$,$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき,$f(X)$を求めよ.
(2)$p=2$,$q=2$のとき,得られる列$X$をすべて求め,そのときの$f(X)$の値を求めよ.
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ.
(1)$p=3$,$q=1$,$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき,$f(X)$を求めよ.
(2)$p=2$,$q=2$のとき,得られる列$X$をすべて求め,そのときの$f(X)$の値を求めよ.
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ.
![宇都宮大学](./img/univ/utsunomiya.png)
$p,\ q$を正の整数とする.数字$0$の書かれた$p$枚のカードと,数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える.このような列$X$に対して,$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ,左から$i$番目のカードの数字が$1$であり,左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$p=3$,$q=1$,$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき,$f(X)$を求めよ.
(2)$p=2$,$q=2$のとき,得られる列$X$をすべて求め,そのときの$f(X)$の値を求めよ.
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ.
(1)$p=3$,$q=1$,$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき,$f(X)$を求めよ.
(2)$p=2$,$q=2$のとき,得られる列$X$をすべて求め,そのときの$f(X)$の値を求めよ.
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ.
![宇都宮大学](./img/univ/utsunomiya.png)
$p,\ q$を正の整数とする.数字$0$の書かれた$p$枚のカードと,数字$1$の書かれた$q$枚のカードを横一列に並べて得られる$0$と$1$からなる$(p+q)$個の数字の列を考える.このような列$X$に対して,$1 \leqq i<j \leqq p+q$かつ,左から$i$番目のカードの数字が$1$であり,左から$j$番目のカードの数字が$0$であるような正の整数の対$(i,\ j)$の個数を$f(X)$とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1)$p=3$,$q=1$,$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき,$f(X)$を求めよ.
(2)$p=2$,$q=2$のとき,得られる列$X$をすべて求め,そのときの$f(X)$の値を求めよ.
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ.
(1)$p=3$,$q=1$,$X=(1,\ 0,\ 0,\ 0)$のとき,$f(X)$を求めよ.
(2)$p=2$,$q=2$のとき,得られる列$X$をすべて求め,そのときの$f(X)$の値を求めよ.
(3)$f(X)$の最大値を$p,\ q$を用いて表せ.
![長崎大学](./img/univ/nagasaki.png)
半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある.その面積を$S$とする.$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる.さらに,$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる.このように,$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる($n \geqq 2$).$D_n$の面積を$S_n$とする.以下の問いに答えよ.
(1)$S$と$S_1$を求めよ.
(2)$S_n$を$n$の式で表せ($n \geqq 1$).
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ.ただし,
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である.
(1)$S$と$S_1$を求めよ.
(2)$S_n$を$n$の式で表せ($n \geqq 1$).
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ.ただし,
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
次の問いに答えよ.
(1)ユークリッドの互除法を用いて,$89$と$29$の最大公約数を求めよ.
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ.
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち,正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする.このとき,自然数$m$に対して,$x_m$を$m$で表せ.
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し,$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき,自然数$n$に対して,$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ.
(1)ユークリッドの互除法を用いて,$89$と$29$の最大公約数を求めよ.
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ.
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち,正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする.このとき,自然数$m$に対して,$x_m$を$m$で表せ.
(4)$(3)$で定めた$x_m$に対し,$89x_m+29y=-20$を満たす$y$の値を$y_m$とするとき,自然数$n$に対して,$\displaystyle \sum_{m=1}^n (3x_m+y_m)^2$を$n$で表せ.
![岩手大学](./img/univ/iwate.png)
次の問いに答えよ.
(1)ユークリッドの互除法を用いて,$89$と$29$の最大公約数を求めよ.
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ.
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち,正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする.このとき,自然数$m$に対して,$x_m$を$m$で表せ.
(1)ユークリッドの互除法を用いて,$89$と$29$の最大公約数を求めよ.
(2)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=1$の整数解を$1$組求めよ.
(3)$2$元$1$次不定方程式$89x+29y=-20$の整数解として現れる$x$の値のうち,正のものを小さい順に$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots$とする.このとき,自然数$m$に対して,$x_m$を$m$で表せ.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
次の問いに答えよ.
(1)$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ.
(2)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする.このとき,$A,\ B$の値を求めよ.
(3)関数$y=x^{\sqrt{x}} (x>0)$の導関数を求めよ.
(1)$1$次不定方程式$17x+22y=1$の整数解をすべて求めよ.
(2)$2$次方程式$x^2+Ax+B=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$は
\[ a \neq 0,\quad \beta \neq 0,\quad \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=2,\quad \frac{1}{\alpha^3}+\frac{1}{\beta^3}=3 \]
を満たすとする.このとき,$A,\ B$の値を求めよ.
(3)関数$y=x^{\sqrt{x}} (x>0)$の導関数を求めよ.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
次の問いに答えよ.
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ.
(2)$3$以上の整数$n$に対して,不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ.
(1)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$の値を求めよ.
(2)$3$以上の整数$n$に対して,不等式
\[ \int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^n}} \, dx<\frac{\pi}{6} \]
が成り立つことを示せ.
![富山大学](./img/univ/toyama.png)
$n$を$1$以上の整数とするとき,次の問いに答えよ.
(1)$\sqrt{n}$が有理数ならば,$\sqrt{n}$は整数であることを示せ.
(2)$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$が共に有理数であるような$n$は存在しないことを示せ.
(3)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無理数であることを示せ.
(1)$\sqrt{n}$が有理数ならば,$\sqrt{n}$は整数であることを示せ.
(2)$\sqrt{n}$と$\sqrt{n+1}$が共に有理数であるような$n$は存在しないことを示せ.
(3)$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$は無理数であることを示せ.