次の問いに答えよ．

(1)整数$x,\ y$が$x^2-23y^2=1$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(2)$1<x+\sqrt{23}y<49$のとき，$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(3)$1$より小なる$x+\sqrt{23}y$が最大になるのは$x=[サ]$，$y=[シ]$のときである．

(4)曲線$y=x^2$，$x$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S$とする．この図形の面積の近似値を以下の方法を用いて求める．区間$0 \leqq x \leqq 1$を$n$等分し，$i (1 \leqq i \leqq n)$番目の区間$\displaystyle\frac{(i-1)}{n} \leqq x \leqq \frac{i}{n}$を底辺とする高さ$\displaystyle \left( \frac{i-\displaystyle\frac{1}{2}}{n} \right)^2$の長方形を考える．これらの長方形の面積の$i$についての総和を$S_n$とする．

(i) $S_n=[ス]$である．
(ii) $\displaystyle |S-S_n| \leq \frac{1}{30000}$となる$n$の最小値は$[セ]$である．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_n= n^2+10n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\cdots) \]
で与えられている．

(1)$a_n \leqq 100$を満たすような最大の$n$と，このときの$a_n$の値を求めよ．
(2)$a_n$が$6$桁の整数のうちで最大となるような$a_n$を求めよ．また，このときの$n$を求めよ．

自然数$n$に対し整数を値にとる関数$f(n)$を次のように定める．
テーブルの上には$n$個の碁石が置かれている．$2$人のプレーヤー$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が交互に碁石を$1$個あるいは$2$個とる．そして最後に碁石をとったプレーヤーが負けである．ゲームは$\mathrm{A}$から始める．$\mathrm{B}$がいかなるとり方をしても，$\mathrm{A}$が最良のとり方をすれば勝てるときは$f(n)=1$とする．逆に$\mathrm{A}$がいかなるとり方をしても，$\mathrm{B}$が最良のとり方をすれば勝てないときは$f(n)=-1$とする．それ以外の場合は$f(n)=0$とする．たとえば$f(1)=-1$，$f(2)=1$である．
\[ f(3)=[(101)][(102)],\quad f(4)=[(103)][(104)],\quad f(5)=[(105)][(106)] \]
であり
\[ \sum_{n=1}^{20}f(n)=[(107)][(108)] \]
となる．

次の各問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq \pi$において
\[ y= \sin x + 2 \cos \left( x - \frac{\pi}{6} \right) \]
の最大値は$\sqrt{[ア]}$であり，最小値は$-\sqrt{[イ]}$である．
(2)$xy = 4x -y+28$を満たす正の整数$x,\ y$の組$(x,\ y)$は全部で[ウ]組ある．
(3)放物線$y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2$は，$x$軸方向に[エ]，$y$軸方向に$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ]}$だけ平行移動すると，直線$y=-x$と直線$y=3x$の両方に接する．
(4)実数$x,\ y$が$x^2+xy+2y^2=1$を満たすとき，$y^2$がとり得る値の範囲は
\[ [キ] \leqq y^2 \leqq \frac{[ク]}{[ケ]} \]
である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数または式を入れよ．

(1)$\sin \theta + \cos \theta = \displaystyle\frac{1}{2}$のとき，$\sin \theta \cos \theta = - \displaystyle\frac{[ア]}{[イ]}$である．　　　　　
(2)不等式$|5x-41|<2x+1$を満たす整数$x$の最大値は[ア][イ]であり，最小値は[ウ]である．
(3)$(x-3y+z)^6$の展開式における，$x^2y^2z^2$の項の係数は[ア][イ][ウ]である．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$2$辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とする．このとき，

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=[ア]$となる．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}} = [イ]\overrightarrow{\mathrm{MN}}$である．

空欄$[　]$に当てはまるものを入れよ．

(1)$5$個の数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$を並べて$5$桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である．また，偶数である整数は$[カキ]$個あり，$4$の倍数である整数は$[クケ]$個ある．
(2)次の連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_xy+2 \log_y x=3 \\
\log_x(y^2+xy)=2
\end{array} \right. \]
の解は$\displaystyle x=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]}$，$\displaystyle y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(3)自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る．このような積全ての和を$S_n$とおく．ただし，$S_1=0$とする．$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式
\[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{[タ]}{[チ]} \]
が成り立つ．これを使って，$S_n$を求めると
\[ S_n=\frac{1}{[ツテ]} \cdot n(n+1)([ト]) \]
となる．

次の問いに答えよ．問い$(1)$～$(3)$については，$[　]$にあてはまる適切な数値を記入せよ．

(1)$x$の$2$次不等式
\[ 6x^2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2) < 0 \]
をみたす整数$x$が$10$個となるように，正の整数$a$の値を定めると$[ア]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{2}$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=\sqrt{3}$とし外心を$\mathrm{O}$とする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす実数$s,\ t$の値は$s=[イ],\ t=[ウ]$である．
(3)袋$\mathrm{A}$には赤玉$2$個と白玉$1$個，袋$\mathrm{B}$には赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている．袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，よくかき混ぜて，袋$\mathrm{B}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$に入っている白玉の個数を$X$とすると，$X=0$となる確率は$[エ]$であり，$X=2$となる確率は$[オ]$である．
(4)関数$f(x)=|x^3|$が$x=0$で微分可能であるかどうか調べよ．

$n$を$3$以上の整数とする．$xyz$空間の平面$z=0$上に，$1$辺の長さが$4$の正$n$角形$P$があり，$P$の外接円の中心を$\mathrm{G}$とおく．半径$1$の球$B$の中心が$P$の辺に沿って$1$周するとき，$B$が通過してできる立体を$K_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$P$の隣り合う$2$つの頂点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$をとる．$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$に下ろした垂線と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{GQ}>1$となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．

(i) $K_n$を平面$z=t (-1 \leqq t \leqq 1)$で切ったときの断面積$S(t)$を$t$と$n$を用いて表せ．
(ii) $K_n$の体積$V(n)$を$n$を用いて表せ．

(3)$\mathrm{G}$を通り，平面$z=0$に垂直な直線を$\ell$とする．$K_n$を$\ell$のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$W(n)$を$n$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{V(n)}{W(n)}$を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく使ってできる$5$桁の整数を小さい方から順に並べたとき，$70$番目の数を$100$で割った余りは$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 16^{\log_2 3}=[イ]$である．
(3)$m^n=1024$を満たす自然数の組$(m,\ n)$は$[ウ]$通りある．その中で最小の$m$は$[エ]$，最小の$n$は$[オ]$である．
(4)$x$の式$(1+x+ax^2)^6$を展開したときの$x^4$の係数は，$a=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる．

次の空欄$[ア]$から$[キ]$に当てはまるものを答えよ．ただし，自然数とは$1$以上の整数のことである．

行列$A,\ B,\ E$を$A=\left( \begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{rr}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right)$，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．

$M_0=E$とし，さいころをふって偶数が出れば$A$を左からかけ，奇数が出れば$B$を左からかける操作を$n$回繰り返すことにより行列$M_n$を定める．つまり，
\begin{itemize}
$n$回目に偶数が出たら$M_n=AM_{n-1}$，
$n$回目に奇数が出たら$M_n=BM_{n-1}$
\end{itemize}
と順々に$M_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を定める．$M_n=A$となる確率を$p_n$とする．

(1)$p_1=[ア]$である．
(2)$A^a=E$をみたす最小の自然数$a$は$[イ]$である．$B^b=E$をみたす最小の自然数$b$は$[ウ]$である．$BA=AB^c$をみたす最小の自然数$c$は$[エ]$である．
(3)$M_0,\ M_1,\ M_2,\ \cdots$の中で相異なる行列は最大$[オ]$個である．
(4)$n$が偶数のときは$p_n=[カ]$であり，$n$が$3$以上の奇数のときは$p_n=[キ]$である．