$n$を$1$以上の整数とする．$2$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，袋$\mathrm{A}$には白玉が$n$個，赤玉が$2$個入っており，袋$\mathrm{B}$には白玉が$n$個，赤玉が$3$個入っている．このとき，それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出す．

(1)$2$個とも白玉である確率を求めよ．
(2)白玉と赤玉が$1$個ずつである確率$P_n$を求めよ．また，$P_n=P_{n+1}$となる$n$の値と，そのときの$P_n$を求めよ．
(3)取り出した白玉の個数の期待値が$\displaystyle \frac{11}{10}$になるとき，$n$の値を求めよ．

$n$を$1$以上の整数とする．$2$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，袋$\mathrm{A}$には白玉が$n$個，赤玉が$2$個入っており，袋$\mathrm{B}$には白玉が$n$個，赤玉が$3$個入っている．このとき，それぞれの袋から$1$個ずつ玉を取り出す．

(1)$2$個とも白玉である確率を求めよ．
(2)白玉と赤玉が$1$個ずつである確率$P_n$を求めよ．また，$P_n=P_{n+1}$となる$n$の値と，そのときの$P_n$を求めよ．
(3)取り出した白玉の個数の期待値が$\displaystyle \frac{11}{10}$になるとき，$n$の値を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)不等式$|3x-5|<x+4$を満たす整数解を求めよ．
(2)式$(\cos {15}^\circ+\sin {15}^\circ)^2+(\cos {15}^\circ-\sin {15}^\circ)^2$の値を求めよ．
(3)$2 \leqq x \leqq 3$，$3 \leqq y \leqq 4$のとき，$1+xy-x-y$の最大値と最小値を求めよ．

$f(x)=ax^2+bx$は，$x=1,\ -1$で整数値をとり，$f(1)=r$，$f(-1)=s$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を$r,\ s$の式で表わせ．
(2)整数$n$に対して，$f(n)$を$n,\ r,\ s$の式で表わせ．
(3)$n$が整数のとき，$f(n)$は常に整数になることを示せ．

$(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$（$n$は自然数）を満たす整数の数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を考える．

(1)$a_{n+1}$，$b_{n+1}$のそれぞれを$a_n$と$b_n$で表す漸化式を作れ．
(2)漸化式$a_{n+1}+pb_{n+1}=q(a_n+pb_n)$を満たす実数の組$(p,\ q)$を$2$組求めよ．
(3)$(2)$で求めた$2$つの漸化式を解いて，一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．

$a$を$0$以上$9$以下の整数，$b$を$1$以上$99$以下の整数，$c$を$512$の倍数として次の問に答えよ．

(1)$80a+b$の最大値は$[$1$][$2$][$3$]$である．
(2)$80a+b-c+12$が$512$の倍数であるとき，$80a+b=[$4$][$5$][$6$]$であり，$a=[$7$]$，$b=[$8$][$9$]$である．

次の問いに答えよ．

(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．

$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．

(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．

$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$4$ケタの整数を$x$とする．ただし，同じ数字をくり返し使ってよい．整数$x$の千の位，百の位，十の位，一の位の数字をそれぞれ$a,\ b,\ c,\ d$とする．

(1)整数$x$は全部で$[ヌ]$個できる．
(2)$a=d$となる$x$は全部で$[ネ]$個できる．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，$3$個以上が同じ数字となる$x$は全部で$[ノ]$個できる．
(4)$a+b+c+d$が$12$以上となる$x$は全部で$[ハ]$個できる．
(5)$3$の倍数となる$x$は全部で$[ヒ]$個できる．また，$4$の倍数となる$x$は全部で$[フ]$個できる．

次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

$f(x)$はすべての係数が整数であるような$3$次多項式で，$x^3$の係数が$1$であり，
\[ \frac{-\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{2} \sqrt{3}i}{2} \]
は方程式$f(x)=0$の解の$1$つであるとする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，
\[ f(x)=x^3+[チ]x^2+[ツ]x-[テ] \]
であり，$f(x)=0$の実数解は${[ト]}^{\frac{1}{3}}-[ナ]$である．