「整数」について
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国立 信州大学 2014年 第3問次の各問いに答えよ．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．
(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．
(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．
注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．
国立 福島大学 2014年 第5問正の整数$n$を
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ．ここで，$k=1$の場合，すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす．
いま，$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって，積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を$P(n)$と書くことにする．
(1)$P(4)$を求めなさい．
(2)$n>1$とする．$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい．
(3)最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい．
(4)最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい．
(5)$P(20)$を求めなさい．
\[ n=a_1+a_2+\cdots +a_k \]
のようにいくつかの正の整数の和として表す．このとき，正の整数の組$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$を$n$の分割とよぶ．ここで，$k=1$の場合，すなわち$n=a_1$として$(a_1)$も$n$の分割とみなす．
いま，$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$であって，積$a_1a_2 \cdots a_k$が最大となるものを$n$の最大分割と呼ぶことにし，その積の値を$P(n)$と書くことにする．
(1)$P(4)$を求めなさい．
(2)$n>1$とする．$n$の分割$(a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k)$で$a_1=1$のものは最大分割でないことを示しなさい．
(3)最大分割に$2$が$3$回現れることはないことを示しなさい．
(4)最大分割に$5$以上の正の整数は現れないことを示しなさい．
(5)$P(20)$を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2014年 第1問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
(1)$1$から$13$までの整数が$1$つずつ書かれた$13$枚のカードの中から$3$枚を選ぶとき，偶数が書かれたカードが$2$枚以上含まれる選び方は$[あ]$通りであり，$11$以上の数が書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる選び方は$[い]$通りである．
(2)$\alpha=2+\sqrt{5}$とするとき，$\alpha$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式$x^2+a_1x+b_1=0$を求めると$a_1=[う]$，$b_1=[え]$である．また自然数$n$に対して，$\alpha^n$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式を$x^2+a_nx+b_n=0$とすると，$b_n=[お]$であり，$a_n^2+a_{2n}=[か]$である．
(3)実数$m$に対して
\[ A(m)=\int_0^1 x(e^x-m)^2 \, dx \]
とおくと，関数$A(m)$は$m=[き]$のとき最小値$[く]$をとる．
(1)$1$から$13$までの整数が$1$つずつ書かれた$13$枚のカードの中から$3$枚を選ぶとき，偶数が書かれたカードが$2$枚以上含まれる選び方は$[あ]$通りであり，$11$以上の数が書かれたカードが少なくとも$1$枚含まれる選び方は$[い]$通りである．
(2)$\alpha=2+\sqrt{5}$とするとき，$\alpha$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式$x^2+a_1x+b_1=0$を求めると$a_1=[う]$，$b_1=[え]$である．また自然数$n$に対して，$\alpha^n$を解とし，整数を係数とする$2$次方程式を$x^2+a_nx+b_n=0$とすると，$b_n=[お]$であり，$a_n^2+a_{2n}=[か]$である．
(3)実数$m$に対して
\[ A(m)=\int_0^1 x(e^x-m)^2 \, dx \]
とおくと，関数$A(m)$は$m=[き]$のとき最小値$[く]$をとる．
私立 自治医科大学 2014年 第4問$x$を整数とする．$\log_2 (x+1)+4 \log_4 (x-1)>0$を満たす最小の$x$の値を求めよ．
私立 自治医科大学 2014年 第7問放物線$y=x^2+ax+b$と直線$y=x+a$が接しているとき，条件を満たす$(a,\ b)$は，何組あるか．ただし，$a,\ b$はともに整数であり，$b<10$とする．
私立 北星学園大学 2014年 第1問$f(x)=x^2-(a+1)x+a$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)$f(x)<0$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)<0$を満たす整数解のないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$f(x)$を因数分解せよ．
(2)$f(x)<0$となる$x$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)<0$を満たす整数解のないような定数$a$の値の範囲を求めよ．
私立 愛知学院大学 2014年 第4問$1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3$の$8$個の数字を全部使って$8$桁の整数を作る．これらの整数について，次の問いに答えなさい．
(1)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$2$である整数は何個あるか．
(2)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$1$である整数は何個あるか．
(3)百の位，十の位，一の位の数字が互いに異なる整数は何個あるか．
(4)百の位，十の位，一の位の数字のうち，$2$つの数字が同じで，残りの$1$つの数字がそれらと違う整数は何個あるか．
(1)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$2$である整数は何個あるか．
(2)百の位，十の位，一の位の数字がすべて$1$である整数は何個あるか．
(3)百の位，十の位，一の位の数字が互いに異なる整数は何個あるか．
(4)百の位，十の位，一の位の数字のうち，$2$つの数字が同じで，残りの$1$つの数字がそれらと違う整数は何個あるか．
私立 近畿大学 2014年 第1問円$C_1$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$があり，$2$つの辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$となっている．$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とおく．次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{AC}^2=m+n \cos \theta$と表すと$m=[ア]$，$n=[イ]$である．ただし$m,\ n$は整数とする．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の残りの辺の長さが$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=4$となっている．このとき$\cos \theta=[ウ]$，$\mathrm{AC}=[エ]$である．また円$C_1$の半径は$[オ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[カ]$である．
(1)$\mathrm{AC}^2=m+n \cos \theta$と表すと$m=[ア]$，$n=[イ]$である．ただし$m,\ n$は整数とする．
(2)四角形$\mathrm{ABCD}$の残りの辺の長さが$\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{DA}=4$となっている．このとき$\cos \theta=[ウ]$，$\mathrm{AC}=[エ]$である．また円$C_1$の半径は$[オ]$，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[カ]$である．
私立 福岡大学 2014年 第7問ある整数の$2$乗で表される数を平方数という．$3$桁の平方数すべての和を求めると$[ ]$である．また，$3$桁の平方数のうち，$3$で割ると$1$余る数すべての和を求めると$[ ]$である．
私立 大阪工業大学 2014年 第3問数列$\{a_n\}$が$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n(a_n+2) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義されるとき，次の空所を埋めよ．
(1)$b_n=a_n+1$とおくと，$b_1=[ア]$であり，$b_3=[イ]$である．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=[ウ]$となる．
(2)$c_n=\log_2b_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列である．
(3)$c_8=[カ]$だから，$a_8$は$[キ]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$b_n=a_n+1$とおくと，$b_1=[ア]$であり，$b_3=[イ]$である．また，$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表すと，$b_{n+1}=[ウ]$となる．
(2)$c_n=\log_2b_n$とおくと，数列$\{c_n\}$は初項$[エ]$，公比$[オ]$の等比数列である．
(3)$c_8=[カ]$だから，$a_8$は$[キ]$桁の整数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．