「整数」について
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国立 群馬大学 2014年 第1問$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$[a_1a_2a_3]$は$3$桁の整数$a_1 \times 100+a_2 \times 10+a_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_3]$は$3$桁の整数$b_1 \times 100+b_2 \times 10+b_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_326]$は$5$桁の整数$b_1 \times 10000+b_2 \times 1000+b_3 \times 100+2 \times 10+6 \times 1$を表すとする．$p,\ q,\ r$を次の条件とする．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
国立 秋田大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の式を，実数の範囲で因数分解せよ．
\[ 6(x+3)(x+4)(x+6)(x+8)-(x+1)(x+2)(x+12)(x+24) \]
(2)$n$を自然数，$A,\ B$を整数とする．多項式$x^{2n}-4x^8+Ax+B$が$x^2-x+1$で割り切れるように，$A,\ B$の値を定めよ．
(1)次の式を，実数の範囲で因数分解せよ．
\[ 6(x+3)(x+4)(x+6)(x+8)-(x+1)(x+2)(x+12)(x+24) \]
(2)$n$を自然数，$A,\ B$を整数とする．多項式$x^{2n}-4x^8+Ax+B$が$x^2-x+1$で割り切れるように，$A,\ B$の値を定めよ．
国立 群馬大学 2014年 第1問$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$[a_1a_2a_3]$は$3$桁の整数$a_1 \times 100+a_2 \times 10+a_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_3]$は$3$桁の整数$b_1 \times 100+b_2 \times 10+b_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_326]$は$5$桁の整数$b_1 \times 10000+b_2 \times 1000+b_3 \times 100+2 \times 10+6 \times 1$を表すとする．$p,\ q,\ r$を次の条件とする．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
国立 群馬大学 2014年 第1問$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$をそれぞれ$1$から$9$までの整数とし，$a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3$の中に同じ数がいくつあってもよいとする．$[a_1a_2a_3]$は$3$桁の整数$a_1 \times 100+a_2 \times 10+a_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_3]$は$3$桁の整数$b_1 \times 100+b_2 \times 10+b_3 \times 1$を表し，$[b_1b_2b_326]$は$5$桁の整数$b_1 \times 10000+b_2 \times 1000+b_3 \times 100+2 \times 10+6 \times 1$を表すとする．$p,\ q,\ r$を次の条件とする．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
$p:[a_1a_2a_3]-1$は$50$で割り切れる．
$q:[b_1b_2b_326]$は$[a_1a_2a_3]$の$26$倍である．
$r:[b_1b_2b_3]$は整数の$2$乗ではない．
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)命題「$q \Longrightarrow p$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
(2)条件$q$を満たす組$(a_1,\ a_2,\ a_3,\ b_1,\ b_2,\ b_3)$は何組あるか．
(3)命題「$q \Longrightarrow r$」が真であれば証明し，偽であれば反例をあげよ．
国立 高知大学 2014年 第4問$k$は$1$以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた$2^k-1$枚のカードが$1$組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．
(i) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$(ⅰ)$に戻って繰り返す．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4)$E_k$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．
(i) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$(ⅰ)$に戻って繰り返す．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4)$E_k$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．
国立 九州工業大学 2014年 第4問点$\mathrm{P}$は次の$①$，$②$，$③$の規則に従って数直線上を動く．
\mon[$①$] 時刻$0$で，$\mathrm{P}$は整数座標点$0$から$10$のいずれかの位置$i (0 \leqq i \leqq 10)$にある．
\mon[$②$] 時刻$t (t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$に位置$i (1 \leqq i \leqq 9)$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$には確率$\displaystyle p \left( 0<p<\frac{1}{2} \right)$で位置$i+1$に，確率$1-p$で位置$i-1$に移動する．
\mon[$③$] 時刻$t$に位置$0$または$10$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$にもその位置に留まる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$2$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$1$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
時刻$0$で位置$i$にある$\mathrm{P}$が，いずれかの時刻で位置$0$に到達する確率を$q_i$とする．ただし，$q_0=1$，$q_{10}=0$である．$1 \leqq i \leqq 9$のとき，$q_{i+1}$，$q_i$，$q_{i-1}$の間には$q_i=pq_{i+1}+(1-p)q_{i-1}$の関係が成り立つ．
(3)$q_{i+1}-q_i=[ ](q_i-q_{i-1})$である．空欄に入る適切な数または式を求めよ．
(4)$q_i$を$q_1$と$p$を用いて表せ．
(5)$q_1$を求め，$q_i$を$p$を用いて表せ．
\mon[$①$] 時刻$0$で，$\mathrm{P}$は整数座標点$0$から$10$のいずれかの位置$i (0 \leqq i \leqq 10)$にある．
\mon[$②$] 時刻$t (t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$に位置$i (1 \leqq i \leqq 9)$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$には確率$\displaystyle p \left( 0<p<\frac{1}{2} \right)$で位置$i+1$に，確率$1-p$で位置$i-1$に移動する．
\mon[$③$] 時刻$t$に位置$0$または$10$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$にもその位置に留まる．
以下の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$2$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$1$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
時刻$0$で位置$i$にある$\mathrm{P}$が，いずれかの時刻で位置$0$に到達する確率を$q_i$とする．ただし，$q_0=1$，$q_{10}=0$である．$1 \leqq i \leqq 9$のとき，$q_{i+1}$，$q_i$，$q_{i-1}$の間には$q_i=pq_{i+1}+(1-p)q_{i-1}$の関係が成り立つ．
(3)$q_{i+1}-q_i=[ ](q_i-q_{i-1})$である．空欄に入る適切な数または式を求めよ．
(4)$q_i$を$q_1$と$p$を用いて表せ．
(5)$q_1$を求め，$q_i$を$p$を用いて表せ．
国立 福井大学 2014年 第3問行列$\displaystyle A=\frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc}
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right)$に関して，以下の問いに答えよ．
(1)次の等式が成り立つような$\cos \theta$，$\sin \theta$，$a$，$b$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ A \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right) \]
(2)$n$を正の整数とするとき，$A^n+(A^{-1})^n$を求めよ．
(3)$A=B^2$となる行列$B$をすべて求めよ．
5 & 3 \\
3 & 5
\end{array} \right)$に関して，以下の問いに答えよ．
(1)次の等式が成り立つような$\cos \theta$，$\sin \theta$，$a$，$b$を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
\[ A \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \right) \]
(2)$n$を正の整数とするとき，$A^n+(A^{-1})^n$を求めよ．
(3)$A=B^2$となる行列$B$をすべて求めよ．
国立 福井大学 2014年 第2問$1$から$7$までの数を$1$つずつ書いた$7$個の玉が，袋の中に入っている．袋から玉を$1$個取り出し，書かれている数を記録して袋に戻す．この試行を$n$回繰り返して得られる$n$個の数の和が$4$の倍数となる確率を$p_n$とする．ただし，$n$は正の整数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p_1$と$p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n$を求めよ．また極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
(1)$p_1$と$p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$の式で表せ．
(3)$p_n$を求めよ．また極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$を求めよ．
国立 浜松医科大学 2014年 第3問以下の問いに答えよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
(1)$r$は自然数，$n$は$r$より大きい整数とする．$2$項係数$\comb{k+r}{r} (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-r)$の次の等式を示せ．
\[ \sum_{k=0}^{n-r} \comb{k+r}{r}=\comb{n+1}{r+1} \]
以下整数$n (n \geqq 2)$に対し，次の確率分布に従う確率変数$X$を考える．
\[ P(X=k)=\frac{\comb{k+1}{1}}{\comb{n+1}{2}} \quad (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1) \]
(2)$X$の期待値$\mu_n=E(X)$を求めよ．また，$\displaystyle P(X \geqq m) \geqq \frac{1}{2}$を満たす最大の整数$m$を$M_n$とするとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{M_n}{\mu_n}$を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第2問$0$以上の整数$n$に対して，
\[ g_n(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x) \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)$n \leqq x \leqq n+1$において，曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ．
(2)$f(x)=ce^{-x} (c>0)$とおく．曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ．
(3)曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし，点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする．また，$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする．曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$，および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ．
\[ g_n(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x) \]
とおく．次の問いに答えよ．
(1)$n \leqq x \leqq n+1$において，曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ．
(2)$f(x)=ce^{-x} (c>0)$とおく．曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ．
(3)曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし，点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする．また，$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする．曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$，および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ．