$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つのチームが参加する野球の大会を開催する．以下の方式で試合を行い，$2$連勝したチームが出た時点で，そのチームを優勝チームとして大会は終了する．

(i) $1$試合目で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．
(ii) $2$試合目で，$1$試合目の勝者と，$1$試合目で待機していた$\mathrm{C}$が対戦する．
(iii) $k$試合目で優勝チームが決まらない場合は，$k$試合目の勝者と，$k$試合目で待機していたチームが$k+1$試合目で対戦する．ここで$k$は$2$以上の整数とする．

なお，すべての対戦において，それぞれのチームが勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$で，引き分けはないものとする．

(1)ちょうど$5$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．ちょうど$n$試合目で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．
(3)$m$を正の整数とする．総試合数が$3m$回以下で$\mathrm{A}$が優勝する確率を求めよ．

次の$\tocichi$，$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ．

\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である．このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である．次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである．

\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}


(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について，$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$，$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ．
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ．
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった．このとき，$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．

約数，公約数，最大公約数を次のように定める．
\begin{itemize}
$2$つの整数$a,\ b$に対して，$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき，$b$は$a$の約数であるという．
$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という．
少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という．
\end{itemize}
以下の問に答えよ．

(1)$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする．

(i) $a=18$，$b=30$，$c=-42$，$p=2$のとき，$a$と$b$の公約数の集合$S$，および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ．
(ii) $a$と$b$の最大公約数を$M$，$b$と$c$の最大公約数を$N$とする．$M$と$N$は等しいことを示せ．ただし，$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない任意の整数とする．

(2)自然数の列$\{a_n\}$を
\[ a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n (n=1,\ 2,\ \cdots),\quad a_1=3,\quad a_2=4 \]
で定める．

(i) $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．
(ii) $a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ．
(iii) $a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ．

$p$は素数とする．正の整数$n$に対し，$p^d$が$n$の約数となる整数$d (d \geqq 0)$のなかで最大のものを$f(n)$とする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$p=3$，$n=3^2!$のとき$f(n)$の値を求めよ．
(2)$p=5$，$n=5^2!$のとき$f(n)$の値を求めよ．
(3)$m$が正の整数で$n=p^m!$のとき$f(n)$を求めよ．

自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．

(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．

(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．

$a$を実数とするとき，不等式$|n-a|+|n-6| \leqq 6$をみたす整数$n$の個数を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)方程式$25x+9y=1$の整数解をすべて求めよ．
(2)方程式$25x+9y=33$の整数解をすべて求めよ．さらに，これらの整数解のうち，$|x+y|$の値が最小となるものを求めよ．
(3)$2$つの方程式$25x+9y=33$，$xy=-570$を同時に満たす整数解をすべて求めよ．

$a,\ b,\ c$は整数とする．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$がともに偶数ならば，$a+b$は偶数であることを示せ．
(2)$a,\ b$がともに奇数ならば，$ab$は奇数であることを示せ．
(3)$a,\ b$のうち少なくとも一方が偶数であることと，$ab$が偶数であることは同値であることを示せ．
(4)$ab,\ a+b$がともに偶数ならば，$a,\ b$はどちらも偶数であることを示せ．
(5)$abc,\ ab+bc+ca,\ a+b+c$がすべて偶数ならば，$a,\ b,\ c$はすべて偶数であることを示せ．

$n$を$2$以上の自然数とする．次の問いに答えよ．

(1)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，
\[ f(a)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k-a)^2 \]
とする．$f(a)$を最小にする$a$は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の平均値で，そのときの最小値は$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の分散であることを示せ．
(2)$c$を定数として，変量$y,\ z$の$k$番目のデータの値が

$y_k=k\phantom{c} \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$
$z_k=ck \quad (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$

であるとする．このとき$y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_n$の分散が$z_1,\ z_2,\ \cdots,\ z_n$の分散より大きくなるための$c$の必要十分条件を求めよ．
(3)変量$x$のデータの値が$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$であるとし，その平均値を$\overline{x}$とする．新たにデータを得たとし，その値を$x_{n+1}$とする．$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n,\ x_{n+1}$の平均値を$x_{n+1},\ \overline{x}$および$n$を用いて表せ．
(4)次の$40$個のデータの平均値，分散，中央値を計算すると，それぞれ，ちょうど$40,\ 670,\ 35$であった．

\begin{tabular}{|rrrrrrrrrr|}
\hline
$120$ & $10$ & $60$ & $70$ & $30$ & $20$ & $20$ & $30$ & $20$ & $60$ \\
$40$ & $50$ & $40$ & $10$ & $30$ & $40$ & $40$ & $30$ & $20$ & $70$ \\
$100$ & $20$ & $20$ & $40$ & $40$ & $60$ & $70$ & $20$ & $50$ & $10$ \\
$30$ & $10$ & $50$ & $80$ & $10$ & $30$ & $70$ & $10$ & $60$ & $10$ \\ \hline
\end{tabular}


新たにデータを得たとし，その値が$40$であった．このとき，$41$個のすべてのデータの平均値，分散，中央値を求めよ．ただし，得られた値が整数でない場合は，小数第$1$位を四捨五入せよ．

$n$を正の整数とし，$k$を$1 \leqq k \leqq n+2$を満たす整数とする．$n+2$枚のカードがあり，そのうちの$1$枚には数字$0$が，他の$1$枚には数字$2$が，残りの$n$枚には数字$1$が書かれている．この$n+2$枚のカードのうちから無作為に$k$枚のカードを取り出すとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$1$以上になる確率を求めよ．
(2)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$2$となる確率$Q_n(k)$を求めよ．
(3)与えられた$n$に対して，確率$Q_n(k)$が最大となる$k$の値と，その最大値を求めよ．