整数$n$は，$1 \leqq n \leqq 100$を満たす．$n,\ n+2,\ n+4$がすべて素数となる整数$n$は，何個あるか．

不等式$2 |x|+3 |y| \leqq 30$の表す領域における点の座標を$(a,\ b)$とする．$a,\ b$ともに整数となる点の個数を$p$としたとき，$\displaystyle n<\frac{p}{100}<n+1$となる自然数$n$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は，初項が$1$，公比$2$の等比数列であるとする．$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{101}a_n$としたとき，$S+1$は，$(30+b)$桁の整数になる．$b$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．

$7$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$を使用してできる全ての$4$桁の整数の個数を$N$，その$4$桁の整数のうち，両端が奇数であるものの個数を$M$とする．$\displaystyle \frac{N}{M}$の値を求めよ．ただし，同じ数字は$2$度以上使わないものとする．

$n$を正整数とし，$e$を自然対数の底とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$を定数として，次の関数$f(x) (x>0)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
\[ f(x)=x^{n+1} \{a \cos (\pi \log x)+b \sin (\pi \log x) \} \]
(2)次の定積分の値をそれぞれ求めよ．
\[ I_n=\int_1^e x^n \cos (\pi \log x) \, dx,\quad J_n=\int_1^e x^n \sin (\pi \log x) \, dx \]
(3)次の極限値をそれぞれ求めよ．
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{I_{n+1}}{I_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_{n+1}}{J_n},\quad \lim_{n \to \infty} \frac{J_n}{I_n} \]

数列$\{a_n\}$を漸化式
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=a_n-3n+\frac{1}{2^{n-1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．第$n$項$a_n$に対して，$a_n$を超えない最大の整数を$b_n$，また$c_n$を$c_n=a_n-b_n$より定める．ここで実数$x$に対し$x$を超えない最大の整数とは，$N \leqq x<N+1$を満たす整数$N$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ b_2,\ b_3$の値をそれぞれ求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n \geqq 3$のとき，数列$\{b_n\}$，$\{c_n\}$の一般項をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(4)正の整数$n$に対して，数列$\{d_n\}$を$\displaystyle d_n=\sum_{k=1}^n b_kc_k$で定める．数列$\{d_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．

$a,\ b,\ c$は正の整数である．以下の問に答えなさい．

(1)$ab=1800$となる$a,\ b$の組は全部で$[ア][イ]$通りある．
(2)$a<b<c<10$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$[ウ][エ]$通りある．
(3)$12a=4b+3c$，$b<100$，$c<100$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$[オ][カ][キ]$通りある．
(4)$a+b=3c<100$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$\kakkofour{ク}{ケ}{コ}{サ}$通りある．
(5)$a+\log_3(b+c)=10$となる$a,\ b,\ c$の組は全部で$\kakkofive{シ}{ス}{セ}{ソ}{タ}$通りある．ただし，$3^{10}=59049$である．

次の$[　]$にあてはまる答えを記せ．

(1)$a$と$\theta$を実数とし，$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$，$\cos \theta$とする．このとき，$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．さらに，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば，$\sin \theta=[ウ]$である．
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする．このとき

(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である．
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である．
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち，$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である．

(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする．直線$y=1-x$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．このとき$V(a)$は，$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される．また，$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である．
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
このとき，$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である．また，頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である．さらに，直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である．

$m$は定数とする．次の連立不等式について下の各問に答えよ．
\[ \left\{ \begin{array}{lr}
x^2-3mx+2m^2<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ① \\
2x^2-(m-4)x-2m<0 \phantom{\displaystyle\frac{2}{2}} & \cdots\cdots ②
\end{array} \right. \]
において，

(1)$①$の左辺の式を因数分解せよ．
(2)$②$の左辺の式を因数分解せよ．
(3)$①$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ．
(4)$②$の不等式を満たす$x$の範囲を求めよ．
(5)この連立不等式の整数解がただ$1$つとなるときの整数解と，そのときの$m$の範囲を求めよ．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は，$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．
(2)（指定範囲外からの出題だったため，全員正解とした．）
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である．