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私立 早稲田大学 2016年 第1問$x,\ y$を正の整数とする．
(1)$17x-36y=1$となる最小の$x$は$[ア]$である．
(2)$17x^3-36y=1$となる最小の$x$は$[イ]$である．
(1)$17x-36y=1$となる最小の$x$は$[ア]$である．
(2)$17x^3-36y=1$となる最小の$x$は$[イ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第3問$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，いずれの箱にも赤球が$1$個，白球が$3$個入っている．ここで，「それぞれの箱から$1$個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行を$n$回繰り返す．その結果，$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに元の状態に戻っている確率を$p_n$とする．このとき，正の整数$k$に対して，
\[ p_{k+1}=\frac{[カ]}{[キ]}p_k+\frac{[ク]}{[ケ]}(1-p_k) \]
となる．よって，
\[ p_n=\frac{[コ]}{7} \left( \frac{1}{[サ]} \right)^n+\frac{[シ]}{7} \quad (n \geqq 1) \]
となる．
\[ p_{k+1}=\frac{[カ]}{[キ]}p_k+\frac{[ク]}{[ケ]}(1-p_k) \]
となる．よって，
\[ p_n=\frac{[コ]}{7} \left( \frac{1}{[サ]} \right)^n+\frac{[シ]}{7} \quad (n \geqq 1) \]
となる．
私立 早稲田大学 2016年 第1問$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)$2^{100}$を$2016$で割った余りは$[ア]$である．
(2)$a,\ b$を正の整数とする．方程式
\[ 2x^3-ax^2+bx+3=0 \]
が，$1$以上の有理数の解を持つような$a$の最小値は$[イ]$である．
(3)正$2016$角形$P$がある．頂点がすべて$P$の頂点であるような正多角形は全部で$[ウ]$個ある．ただし，頂点の異なる正多角形は異なるものとする．
(4)$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{2016} k \sin \frac{(2k-1) \pi}{2016} \right) \sin \frac{\pi}{2016}=[エ]$
(1)$2^{100}$を$2016$で割った余りは$[ア]$である．
(2)$a,\ b$を正の整数とする．方程式
\[ 2x^3-ax^2+bx+3=0 \]
が，$1$以上の有理数の解を持つような$a$の最小値は$[イ]$である．
(3)正$2016$角形$P$がある．頂点がすべて$P$の頂点であるような正多角形は全部で$[ウ]$個ある．ただし，頂点の異なる正多角形は異なるものとする．
(4)$\displaystyle \left( \sum_{k=1}^{2016} k \sin \frac{(2k-1) \pi}{2016} \right) \sin \frac{\pi}{2016}=[エ]$
私立 同志社大学 2016年 第3問$a$を正の実数とし，数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が漸化式
\[ a_1=a,\quad \log_2 a_{n+1}=-|\log_2 a_n|+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$のとき，$\log_2 y=-|\log_2 x|+2$を満たす$y$を$x$を用いて表せ．
(2)座標平面上で，方程式$\log_2 y=-|\log_2 x|+2 (x>0)$の表す図形を描け．
(3)$x>0$において，方程式$\log_2 x=-|\log_2 x|+2$を満たす$x$の値を求めよ．
(4)$n$を正の整数とし，$1<a<2$とする．数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
(5)$n$を正の整数とする．$2^{2015}<a<2^{2016}$のとき，数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
\[ a_1=a,\quad \log_2 a_{n+1}=-|\log_2 a_n|+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問いに答えよ．
(1)$x \geqq 1$のとき，$\log_2 y=-|\log_2 x|+2$を満たす$y$を$x$を用いて表せ．
(2)座標平面上で，方程式$\log_2 y=-|\log_2 x|+2 (x>0)$の表す図形を描け．
(3)$x>0$において，方程式$\log_2 x=-|\log_2 x|+2$を満たす$x$の値を求めよ．
(4)$n$を正の整数とし，$1<a<2$とする．数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
(5)$n$を正の整数とする．$2^{2015}<a<2^{2016}$のとき，数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．
私立 同志社大学 2016年 第4問$n$を自然数，$k$を$0$以上の整数とする．また，$f(x)=|x \sin (nx)|$，$\displaystyle x_k=\frac{k \pi}{n}$，$\displaystyle \alpha_k=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．
(1)$\displaystyle T_k=\int_{x_k}^{\alpha_k} f(x) \, dx$とする．$T_k$を$n,\ k$を用いて表し，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n T_k$を求めよ．
(2)$x_k \leqq x \leqq x_{k+1}$の範囲で，関数$f(x)$が最大値をとるときの$x$の値を$\beta_k$とする．$\displaystyle U_k=\int_{x_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおくと，ある定数$b$を用いて$\displaystyle U_k=\frac{k \pi+b |\sin (n \beta_k)|}{n^2}$と表される．定数$b$の値を求めよ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n U_k$を求めよ．
(3)$x_k \leqq x \leqq \alpha_k$の範囲で，関数$g(x)=|x \cos (nx)|$が最大値をとるときの$x$の値を$\gamma_k$とする．この$\gamma_k$と$(2)$の$\beta_k$に対して，$\displaystyle V_k=\int_{\gamma_k}^{\beta_k} f(x) \, dx$とおく．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n V_k$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
私立 早稲田大学 2016年 第3問$x,\ y,\ z$の$1$次方程式
\[ x+y+z=2k-1 \quad \cdots \quad ① \]
について，次の問に答えよ．ただし，定数$k$は$k \geqq 6$を満たす整数である．
(1)方程式$①$の整数解$(x,\ y,\ z)$のうち，$x>0$，$y>0$，$z>0$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$のうち，$x \leqq k$を満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$のうち，$x \leqq k$，$y \leqq k+1$，$z \leqq k+2$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
\[ x+y+z=2k-1 \quad \cdots \quad ① \]
について，次の問に答えよ．ただし，定数$k$は$k \geqq 6$を満たす整数である．
(1)方程式$①$の整数解$(x,\ y,\ z)$のうち，$x>0$，$y>0$，$z>0$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(2)$(1)$のうち，$x \leqq k$を満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
(3)$(1)$のうち，$x \leqq k$，$y \leqq k+1$，$z \leqq k+2$をすべて満たすものは全部で何個あるか，$k$を用いて表せ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数または式を記入しなさい．
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）
(1)円$x^2+y^2-6x+12y+25=0$を$C_1$とし，中心が原点で，円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．このとき円$C_2$の半径は$[ケ]$である．また$2$つの円$C_1$，$C_2$の共有点の座標は$[コ]$である．
(2)不等式$3^{2x}+1<3^{x+2}+3^{x-2}$を解くと，$[サ]<x<[シ]$である．
(3)自然数$n$に対して$m \leqq \log_2 n<m+1$を満たす整数$m$を$a_n$で表すことにする．このとき$a_{2016}=[ス]$である．また，自然数$k$に対して$a_n=k$を満たす$n$は全部で$[セ]$個あり，そのような$n$のうちで最大のものは$n=[ソ]$である．さらに$\displaystyle \sum_{n=1}^{2016}a_n=[タ]$である．
（ヒント：$2^{10}=1024$）
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$i$を虚数単位とする．次の事実がある．
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき，
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する．
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である．
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である．
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め，集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である．
\begin{waku}[事実$\mathrm{F}$]
$a,\ b$を互いに素な正の整数とする．このとき，
\[ \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{b} \pi+i \sin \frac{2}{b} \pi \]
となる整数$k$が存在する．
\end{waku}
(1)等式
\[ \left( \cos \frac{4}{5} \pi+i \sin \frac{4}{5} \pi \right)^k=\cos \frac{2}{5} \pi+i \sin \frac{2}{5} \pi \]
を満たす最小の正の整数$k$は$[ツ]$である．
(2)$a,\ b$を互いに素な正の整数とし，集合$P$を
\[ P=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a}{b} \pi+i \sin \frac{2a}{b} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\} \]
で定める．事実$\mathrm{F}$を考慮すると，集合$P$の要素の個数$n(P)$は$[テ]$である．
(3)事実$\mathrm{F}$を証明しなさい．
(4)$a_1,\ b_1$を互いに素な正の整数とし，$a_2,\ b_2$も互いに素な正の整数とする．集合$Q_1$と$Q_2$を
$\displaystyle Q_1=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_1}{b_1} \pi+i \sin \frac{2a_1}{b_1} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
$\displaystyle Q_2=\left\{ z \;\bigg|\; \text{$z$は整数$k$を用いて} \left( \cos \frac{2a_2}{b_2} \pi+i \sin \frac{2a_2}{b_2} \pi \right)^k \text{と表される複素数} \right\}$
で定め，集合$R$を
\[ R=\{z \;\bigg|\; \text{$z$は集合$Q_1$の要素と集合$Q_2$の要素の積で表される複素数}\} \]
で定める．$b_1$と$b_2$が互いに素ならば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ト]$である．$b_1$と$b_2$が互いに素でないとき，それらの最大公約数を$d$とすれば，集合$R$の要素の個数$n(R)$は$[ナ]$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$3$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．袋$\mathrm{A}$には，$1$から$7$までの番号が書かれた玉がそれぞれ$2$個ずつ，計$14$個入っている．また，袋$\mathrm{B}$，袋$\mathrm{C}$には何も入っていない．以下，番号$i$が書かれた玉を「玉$i$」と呼ぶことにする．
袋$\mathrm{A}$から無作為に玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．ここで袋$\mathrm{B}$に入れられた玉を玉$i$とするとき，玉$i-1$，玉$i$，玉$i+1$のうち袋$\mathrm{A}$に入っているものをそれぞれ$1$個ずつ取り出して袋$\mathrm{C}$に入れる．この一連の操作を繰り返す．
例えば，$1$回目の操作の最初に玉$7$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとする．このとき，袋$\mathrm{A}$には玉$6$と玉$7$は入っているが，玉$8$は入っていないので，玉$6$と玉$7$が$1$個ずつ袋$\mathrm{A}$から袋$\mathrm{C}$に移される．以上で$1$回目の操作が終わり，袋$\mathrm{A}$に玉$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6$の計$11$個が入った状態で$2$回目の操作を始める．
(1)$1$回目の操作で玉$4$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとき，$2$回目の操作で玉$5$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$43$]}{[$44$][$45$]}$である．
(2)$1$回目の操作で玉$2$が袋$\mathrm{B}$に入れられ，かつ$2$回目の操作で玉$1$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$46$]}{[$47$][$48$]}$である．
$1 \leqq i<j \leqq 7$を満たす整数$i,\ j$に対し，$2$回の操作を行った後に袋$\mathrm{B}$に玉$i$と玉$j$が入っている事象を$B_{i,j}$とし，事象$B_{i,j}$の確率を$P(B_{i,j})$で表す．
(3)$\displaystyle P(B_{1,2})=\frac{1}{7} \times \frac{[$49$]}{11}+\frac{1}{7} \times \frac{[$50$]}{10}=\frac{[$51$]}{110}$である．同様に，
$\displaystyle P(B_{1,3})=\frac{[$52$]}{[$53$][$54$]},\quad P(B_{1,7})=\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]},$
$\displaystyle P(B_{2,3})=\frac{[$58$]}{[$59$][$60$]},\quad P(B_{2,4})=\frac{[$61$]}{[$62$][$63$]}$
である．
(4)$\comb{7}{2}$個の事象$B_{1,2},\ B_{1,3},\ \cdots,\ B_{6,7}$のうち，起こる確率が$P(B_{1,2})$であるものは$[$64$]$個，$P(B_{1,3})$であるものは$[$65$]$個，$P(B_{1,7})$であるものは$[$66$]$個，$P(B_{2,3})$であるものは$[$67$]$個，$P(B_{2,4})$であるものは$[$68$]$個である．
(5)$3$回の操作の後，袋$\mathrm{B}$に入っている玉の番号が全て偶数となる確率は$\displaystyle \frac{[$69$]}{[$70$][$71$]}$である．
袋$\mathrm{A}$から無作為に玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．ここで袋$\mathrm{B}$に入れられた玉を玉$i$とするとき，玉$i-1$，玉$i$，玉$i+1$のうち袋$\mathrm{A}$に入っているものをそれぞれ$1$個ずつ取り出して袋$\mathrm{C}$に入れる．この一連の操作を繰り返す．
例えば，$1$回目の操作の最初に玉$7$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとする．このとき，袋$\mathrm{A}$には玉$6$と玉$7$は入っているが，玉$8$は入っていないので，玉$6$と玉$7$が$1$個ずつ袋$\mathrm{A}$から袋$\mathrm{C}$に移される．以上で$1$回目の操作が終わり，袋$\mathrm{A}$に玉$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6$の計$11$個が入った状態で$2$回目の操作を始める．
(1)$1$回目の操作で玉$4$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとき，$2$回目の操作で玉$5$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$43$]}{[$44$][$45$]}$である．
(2)$1$回目の操作で玉$2$が袋$\mathrm{B}$に入れられ，かつ$2$回目の操作で玉$1$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$46$]}{[$47$][$48$]}$である．
$1 \leqq i<j \leqq 7$を満たす整数$i,\ j$に対し，$2$回の操作を行った後に袋$\mathrm{B}$に玉$i$と玉$j$が入っている事象を$B_{i,j}$とし，事象$B_{i,j}$の確率を$P(B_{i,j})$で表す．
(3)$\displaystyle P(B_{1,2})=\frac{1}{7} \times \frac{[$49$]}{11}+\frac{1}{7} \times \frac{[$50$]}{10}=\frac{[$51$]}{110}$である．同様に，
$\displaystyle P(B_{1,3})=\frac{[$52$]}{[$53$][$54$]},\quad P(B_{1,7})=\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]},$
$\displaystyle P(B_{2,3})=\frac{[$58$]}{[$59$][$60$]},\quad P(B_{2,4})=\frac{[$61$]}{[$62$][$63$]}$
である．
(4)$\comb{7}{2}$個の事象$B_{1,2},\ B_{1,3},\ \cdots,\ B_{6,7}$のうち，起こる確率が$P(B_{1,2})$であるものは$[$64$]$個，$P(B_{1,3})$であるものは$[$65$]$個，$P(B_{1,7})$であるものは$[$66$]$個，$P(B_{2,3})$であるものは$[$67$]$個，$P(B_{2,4})$であるものは$[$68$]$個である．
(5)$3$回の操作の後，袋$\mathrm{B}$に入っている玉の番号が全て偶数となる確率は$\displaystyle \frac{[$69$]}{[$70$][$71$]}$である．